Четность и нечетность линейной функции. Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции

Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной x {\displaystyle x} и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной y {\displaystyle y} . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции.

  • В функцию подставьте положительные числовые значения x {\displaystyle x} и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция . Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x} :
    • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3} (1 , 3) {\displaystyle (1,3)} .
    • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (2 , 9) {\displaystyle (2,9)} .
    • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3} . Получили точку с координатами (− 1 , 3) {\displaystyle (-1,3)} .
    • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (− 2 , 9) {\displaystyle (-2,9)} .

  • Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.

    • Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} , совпадает со значением y {\displaystyle y} , которое соответствует значению − x {\displaystyle -x} , функция является четной. В нашем примере с функцией f (x) = 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} мы получили следующие координаты точек:
      • (1,3) и (-1,3)
      • (2,9) и (-2,9)
    • Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.

  • Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.

    • Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} , значения y {\displaystyle y} будут различаться по знаку. Например, дана функция f (x) = x 3 + x {\displaystyle f(x)=x^{3}+x} . Подставьте в нее несколько значений x {\displaystyle x} :
      • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2} . Получили точку с координатами (1,2).
      • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2}
      • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}
      • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10} . Получили точку с координатами (-2,-10).
    • Таким образом, f(x) = -f(-x), то есть функция нечетная.

  • Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция .

    • В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} :
      • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 {\displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4} . Получили точку с координатами (1,4).
      • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2} . Получили точку с координатами (-1,-2).
      • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10} . Получили точку с координатами (2,10).
      • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2} . Получили точку с координатами (2,-2).
    • Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения y {\displaystyle y} для противоположных значений x {\displaystyle x} не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
    • Обратите внимание, что функцию f (x) = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} можно записать так: f (x) = (x + 1) 2 {\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
















    • Назад Вперёд

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Цели:

    • сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
    • развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
    • воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

    Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

    Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

    Информационные источники:

    1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
    2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
    3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

    ХОД УРОКА

    1. Организационный момент

    Постановка целей и задач урока.

    2. Проверка домашнего задания

    №10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

    а) у = f (х ), f (х ) =

    б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f (5) = 69;

    в) 1. D(f ) = [– 2; + ∞)
    2. Е(f ) = [– 3; + ∞)
    3. f (х ) = 0 при х ~ 0,4
    4. f (х ) >0 при х > 0,4 ; f (х ) < 0 при – 2 < х < 0,4.
    5. Функция возрастает при х € [– 2; + ∞)
    6. Функция ограничена снизу.
    7. у наим = – 3, у наиб не существует
    8. Функция непрерывна.

    (Вы использовали алгоритм исследования функции?) Слайд.

    2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим по слайду.

    Заполните таблицу

    Область определения

    Нули функции

    Промежутки знакопостоянства

    		 Координаты точек пересечения графика с Оу

    х = –5,
    х = 2

    х € (–5;3) U
    U (2; ∞)

    х € (–∞;–5) U
    U (–3;2)

    х ∞ –5,
    х ≠ 2

    х € (–5;3) U
    U (2; ∞)

    х € (–∞;–5) U
    U (–3;2)

    х ≠ –5,
    х ≠ 2

    х € (–∞; –5) U
    U (2; ∞)

    х € (–5; 2)

    3. Актуализация знаний

    – Даны функции.
    – Указать область определения для каждой функции.
    – Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
    – Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f (– х ) = f (х ), f (– х ) = – f (х )? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

    f (1) и f (– 1) f (2) и f (– 2) графики f (– х ) = –f (х ) f (– х ) = f (х )
    1. f (х ) =
    2. f (х ) = х 3
    3. f (х ) = | х |
    4. f (х ) = 2х – 3
    5. f (х ) =

    х ≠ 0
    6. f (х )= х > –1

    и не опред.

    4. Новый материал

    – Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
    Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

    Опр. 1 Функция у = f (х ), заданная на множестве Х называется чётной , если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

    Опр. 2 Функция у = f (х) , заданная на множестве Х называется нечётной , если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

    Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?
    Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
    Для любой функции вида у = х n , где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.
    – Функции вида у = и у = 2х – 3 не являются ни чётным, ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f (– х ) = – f (х ), f (– х ) = f (х )

    Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

    В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х , и при – х .

    Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

    Примеры:

    (–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.

    – У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
    – Если же D(f ) – несимметричное множество, то функция какая?
    – Таким образом, если функция у = f (х ) – чётная или нечётная, то её область определения D(f ) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
    – Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
    – Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

    Слайд

    Алгоритм исследования функции на чётность

    1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

    2. Составить выражение для f (– х ).

    3. Сравнить f (– х ).и f (х ):

    • если f (– х ).= f (х ), то функция чётная;
    • если f (– х ).= – f (х ), то функция нечётная;
    • если f (– х ) ≠ f (х ) и f (– х ) ≠ –f (х ), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

    Примеры:

    Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у = .

    Решение.

    а) h(х) = х 5 +,

    1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

    2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

    3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

    б) у =,

    у = f (х ), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

    в) f (х ) = , у = f (х),

    1) D(f ) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

    Вариант 2

    1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?


    а); б) у = х· (5 – х 2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

    а) у = х 2 · (2х – х 3), б) у =

    3. На рис. построен график у = f (х ), для всех х , удовлетворяющих условию х ? 0.
    Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – чётная функция.

    3. На рис. построен график у = f (х ), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
    Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – нечётная функция.

    Взаимопроверка по слайду.

    6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

    Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

    ***(Задание варианта ЕГЭ).

    1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х ) = х (х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х ) = при х = 3.

    7. Подведение итогов

    Преобразование графиков.

    Словесное описание функции.

    Графический способ.

    Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.

    Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.

    Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

    Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?

    Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.

    Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.

    Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.

    Попытаемся ответить на вопрос: "А существуют ли другие способы задания функции?"

    Такой способ есть.

    Функцию можно вполне однозначно задать словами.

    Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.

    Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.

    Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.

    Способ словесного описания - достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.

    Если есть закон однозначного соответствия между х и у - значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен - формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.

    Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .

    Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения

    Пример. Рассмотрим функцию

    Она является четной. Проверим это.



    Для любого х выполнены равенства

    Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.

    Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения

    Пример. Рассмотрим функцию

    Она является нечетной. Проверим это.

    Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).

    Для любого х выполнены равенства

    Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.

    Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.

    Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?

    Как вставить математические формулы на сайт?

    Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

    Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

    Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

    Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

    Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

    Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

    Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

    Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.