Что такое медианный метод. Вычисление медианы набора чисел

Медиана - это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части - со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

Посмотреть решение задачи на нахождение моды и медианы Вы можете

В ранжированных рядах несгруппированные данные для нахождения медианы сводятся к поиску порядкового номера медианы. Медиана может быть вычислена по следующей формуле:

где Хm - нижняя граница медианного интервала;
im - медианный интервал;
Sme- сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала;
fme - число наблюдений в медианном интервале.

Свойства медианы

1. Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
2. Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.
3. Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением X от любой другой величины

Графическое определение медианы

Для определения медианы графическим методом используют накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяют отрезками прямой. Разделив поп олам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находят ординату искомого значения медианы.

Определение моды в статистике

Мода - значение признака , имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Определение моды производится разными способами, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда.

Нахождение моды и медианы происходит путем обычного просматривания столбца частот. В этом столбце находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приблизительно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряду распределения мода вычисляется по формуле :

где ХМо - нижняя граница модального интервала;
imo - модальный интервал;
fм0, fм0-1, fм0+1 — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при анализе покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Соотношения между средней арифметической, медианой и модой

Для одномодального симметричного ряда распределения , медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений они не совпадают.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

На тему: "Мода. Медиана. Способы их расчета"

Введение

Средние величины и связанные с ними показатели вариации играют в статистике очень большую роль, что обусловлено предметом ее изучения. Поэтому данная тема является одной из центральных в курсе.

Средняя является очень распространенным обобщающим показателям в статистике. Это объясняется тем, что только с помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средняя показывает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Изучая общественные явления и стремясь выявить их характерные, типичные черты в конкретных условиях места и времени, статистики широко используют средние величины. С помощью средних можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам.

Средние, которые применяются в статистике, относятся к классу степенных средних. Из степенных средних наиболее часто применяется средняя арифметическая, реже – средняя гармоническая; средняя гармоническая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая – только при исчислении показателей вариации.

Средняя арифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных ее единиц. Средняя арифметическая – наиболее распространенный вид средних, так как она соответствует природе общественных явлений, где объем варьирующих признаков в совокупности чаще всего образуется именно как сумма значений признака у отдельных единиц совокупности.

По своему определяющему свойству средняя гармоническая должна применяться тогда, когда общий объем признака образуется как сумма обратных значений вариант. Ее применяют тогда, когда в зависимости от имеющего материала веса приходиться не умножать, а делить на варианты или, что то же самое, умножать на обратное их значение. Средняя гармоническая в этих случаях – это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.

К средней гармонической следует прибегать в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значение признака.

1. Определение моды и медианы в статистике

Средние арифметическая и гармоническая являются обобщающими характеристиками совокупности по тому или иному варьирующему признаку. Вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака являются мода и медиана.

Модой в статистике называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медианной в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

Мода и медиана в отличии от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какая-либо конкретная варианта в вариационном ряду.

Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Если надо, например, узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров, размер ботинок, пользующийся наибольшим спросом у потребителей, и т.д., в этих случаях прибегают к моде.

Медиана интересна тем, что показывает количественную границу значение варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности. Пусть средняя заработная плата работников банка составила 650000 руб. в месяц. Эта характеристика может быть дополнена, если мы скажем, что половина работников получила заработную плату 700000 руб. и выше, т.е. приведем медиану. Мода и медиана являются типичными характеристиками в тех случаях, когда взяты совокупности однородные и большой численности.

2. Нахождение моды и медианы в дискретном вариационном ряду

Найти моду и медиану в вариационном ряду, где значения признака заданы определенными числами, не представляет большой трудности. Рассмотрим таблицу 1. с распределение семей по числу детей.

Таблица 1. Распределение семей по числу детей

Очевидно, в этом примере модой будет семья, имеющая двоих детей, так как этому значению варианты соответствует наибольшее число семей. Могут быть распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет или, иначе, можно сказать, что все варианты одинаково модальны. В других случаях не одна, а две варианты могут быть наибольшей частоты. Тогда будет две моды, распределение будет бимодальным. Бимодальные распределения могут указывать на качественную неоднородность совокупности по исследуемому признаку.

Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряд, нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½. Так, в распределении 185 семьи по числу детей медианой будет: 185/2 + ½ = 93, т.е. 93-я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам. Каково же значение 93-ей варианты? Для того чтобы это выяснить, нужно накапливать частоты, начиная, от наименьшей варианты. Сумма частот 1-й и 2-й вариант равна 40. Ясно, что здесь 93 варианты нет. Если прибавить к 40 частоту 3-й варианты, то получим сумму, равную 40 + 75 = 115. Следовательно, 93-я варианта соответствует третьему значению варьирующего признака, и медианой будет семья, имеющая двоих детей.

Мода и медиана в данном примере совпали. Если бы у нас была четная сумма частот (например, 184), то, применяя указанную выше формулу, получим номер медианной варианты, 184/2 + ½ =92,5. Поскольку варианты с дробным номером не существует, полученный результат указывает, что медиана находится посередине между 92 и 93 вариантами.

3. Расчет моды и медианы в интервальном вариационном ряду

Описательный характер моды и медианы связан с тем, что в них не погашаются индивидуальные отклонения. Они всегда соответствуют определенной варианте. Поэтому мода и медиана не требуют для своего нахождения расчетов, если известны все значения признака. Однако в интервальном вариационном ряду для нахождения приближенного значения моды и медианы в пределах определенного интервала прибегают к расчетам.

Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в интервале, применяют формулу:

М о = Х Мо + i Мо *(f Мо – f Мо-1)/((f Мо – f Мо-1) + (f Мо – f Мо+1)),

Где Х Мо – минимальная граница модального интервала;

i Мо – величина модального интервала;

f Мо – частота модального интервала;

f Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Покажем расчет моды на примере, приведенном в таблице 2.

Таблица 2. Распределение рабочих предприятия по выполнению норм выработки

Чтобы найти моду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из примера видно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где варианта лежит в пределах от 100 до 105. Это и есть модальный интервал. Величина модального интервала равна 5.

Подставляя числовые значения из таблицы 2. в указанную выше формулу, получим:

М о = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

Смысл этой формулы заключается в следующем: величину той части модального интервала, которую нужно добавить к его минимальной границе, определяют в зависимости от величины частот предшествующего и последующего интервалов. В данном случае к 100 прибавляем 8,8, т.е. больше половины интервала, потому что частота предшествующего интервала меньше частоты последующего интервала.

Исчислим теперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал). Таким интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Комулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака. Половина суммы частот у нас равна 250 (500:2). Следовательно, согласно таблицы 3. медианным интервалом будет интервал со значением заработной платы от 350000 руб. до 400000 руб.

Таблица 3. Расчет медианы в интервальном вариационном ряду

До этого интервала сумма накопленных частот составила 160. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 90 единиц (250 – 160).

Медиана (Me) – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда, т.е. делящее ряд распределения на две равные части.

а) для ряда одиночных значений:

Если нечетное кол-во вариант, то серединное значение в ранжированном ряду

Если четное , то сред.арифмет. из 2х смежных серединных значений в ранжиров. ряду

б) В дискретном ряду распределения определяется номер медианы по формуле:

Номер медианы показывает то значение показателя, которое и является медианой.

в) В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по следующей формуле:

x - нижняя граница медианного интервала;

i - величина интервала;

f - численность медианного интервала;

S - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному.

31. Мода и ее практическое значение

Мода (Mo) – величина признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности, т.е. имеющая наибольшую численность в ряду распределения.

а) В дискретном ряду распределения мода определяется визуально.

б) В интервальном ряду распределения визуально можно определить только интервал, в котором заключена мода, который называется модальным интервалом(тот, который имеет наибольшую частоту).

Мода будет равна:

x - нижняя граница модального интервала;

i - величина интервала;

f - численность модального интервала;

Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды. Если две не соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называют бимодальным ; если таких вариант больше двух, то ряд – полимодальный .

32. Показатели вариации и способы их расчета

Вариации – колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности.

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.

К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным – коэффициенты осцилляции, коэффициенты вариации и относительное линейное отклонение.

Размах вариации – простейший показатель, разность между максимальным и минимальным значениями признака.

Недостатком является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Среднее линейное отклонение отражает все колебания варьирующего признака и представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений вариант от средней величины, т.к. сумма отклонений значений признака от средней равно 0, то все отклонения берутся по модулю.

Простая
Взвешенная

Дисперсия – средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.

Простая:
Взвешенная:

Среднее квадратическое отклонение . Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак.

Простая:
Взвешенная:
.

Относительные показатели

Мода и медиана – особого рода средние, которые используются для изучения структуры вариационного ряда. Их иногда называют структурными средними, в отличие от рассмотренных ранее степенных средних.

Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.

Мода имеет большое практическое применение и в ряде случаев только мода может дать характеристику общественных явлений.

Медиана – это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которой достигла половина единиц совокупности. Применение медианы наряду со средней или вместо нее целесообразно при наличии в вариационном ряду открытых интервалов, т.к. для вычисления медианы не требуется условное установление границ отрытых интервалов, и поэтому отсутствие сведений о них не влияет на точность вычисления медианы.

Медиану применяют также тогда, когда показатели, которые нужно использовать в качестве весов, неизвестны. Медиану применяют вместо средней арифметической при статистических методах контроля качества продукции. Сумма абсолютных отклонений варианты от медианы меньше, чем от любого другого числа.

Рассмотрим расчет моды и медианы в дискретном вариационном ряду:

Определить моду и медиану.

Мода Мо = 4 года, так как этому значению соответствует наибольшая частота f = 5.

Т.е. наибольшее число рабочих имеют стаж 4 года.

Для того, чтобы вычислить медиану, найдем предварительно половину суммы частот. Если сумма частот является числом нечетным, то мы сначала прибавляем к этой сумме единицу, а затем делим пополам:

Медианой будет восьмая по счету варианта.

Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой.

Ме = 4 года.

Т.е. половина рабочих имеет стаж меньше четырех лет, половина больше.

Если сумма накопленных частот против одной варианты равна половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Вычисление моды и медианы в интервальном вариационном ряду

Мода в интервальном вариационном ряду вычисляется по формуле

где Х М0 - начальная граница модального интервала,

h м 0 – величина модального интервала,

f м 0 , f м 0-1 , f м 0+1 – частота соответственно модального интервала, предшествующего модальному и последующего.

Модальным называется такой интервал, которому соответствует наибольшая частота.

Пример 1

Определить моду и медиану.

Модальный интервал , т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 35. Тогда:

Хм 0 =6, fм 0 =35

Зарплат в различных отраслях экономики, температуру и уровень осадков на одной и той же территории за сопоставимые периоды времени, урожайность выращиваемых культур в разных географических регионах и т. д. Впрочем, средняя является отнюдь не единственным обобщающим показателем - в ряде случае для более точной оценки подходит такая величина как медиана. В статистике она широко применяется в качестве вспомогательной описательной характеристики распределения какого-либо признака в отдельно взятой совокупности. Давайте разберемся, чем она отличается от средней, а также чем вызвана необходимость ее использования.

Медиана в статистике: определение и свойства

Представьте себе следующую ситуацию: на фирме вместе с директором работают 10 человек. Простые работники получают по 1000 грн., а их руководитель, который, к тому же, является собственником, - 10000 грн. Если вычислить среднее арифметическое, то получится, что в среднем зарплата на данном предприятии равна 1900 грн. Будет ли справедливым данное утверждение? Или возьмем такой пример, в одной и той же больничной палате находится девять человек с температурой 36,6 °С, и один человек, у которого она равна 41 °С. Арифметическое среднее в этом случае равно: (36,6*9+41)/10 = 37,04 °С. Но это вовсе не означает, что каждый из присутствующих болен. Все это наталкивает на мысль, что одной средней часто бывает недостаточно, и именно поэтому в дополнение к ней используется медиана. В статистике этим показателем называют вариант, который расположен ровно посередине упорядоченного вариационного ряда. Если посчитать ее для наших примеров, то получится соответственно 1000 грн. и 36,6 °С. Другими словами, медианой в статистике называется значение, которое делит ряд пополам таким образом, что по обе стороны от нее (вниз или вверх) расположено одинаковое число единиц данной совокупности. Из-за этого свойства данный показатель имеет еще несколько названий: 50-й перцентиль или квантиль 0,5.

Как найти медиану в статистике

Способ расчета данной величины во многом зависит от того, какой тип вариационного ряда мы имеем: дискретный или интервальный. В первом случае, медиана в статистике находится довольно просто. Все, что нужно сделать, это найти сумму частот, разделить ее на 2 и затем прибавить к результату ½. Лучше всего будет пояснить принцип расчета на следующем примере. Предположим, у нас есть сгруппированные данные по рождаемости, и требуется выяснить, чему равна медиана.

Проведя нехитрые подсчеты, получим, что искомый показатель равен: 195/2 + ½ = варианта. Для того чтобы выяснить, что это означает, следует последовательно накапливать частоты, начиная с наименьшей варианты. Итак, сумма первых двух строк дает нам 30. Ясно, что здесь 98 варианты нет. Но если прибавить к результату частоту третьей варианты (70), то получится сумма, равная 100. В ней как раз и находится 98-я варианта, а значит медианой будет семья, у которой есть двое детей.

Что же касается интервального ряда, то здесь обычно используют следующую формулу:

М е = Х Ме + i Ме * (∑f/2 - S Me-1)/f Ме, в которой:

• Х Ме - первое значение медианного интервала;
• ∑f - численность ряда (сумма его частот);
• i Ме - величина медианного диапазона;
• f Ме - частота медианного диапазона;
• S Ме-1 - сумма кумулятивных частот в диапазонах, предшествующих медианному.

Опять же, без примера здесь разобраться довольно сложно. Предположим, есть данные по величине

Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой, вначале нам нужно определить медианный интервал. В качестве такого диапазона выбирают тот, накопленная частота которого превышает половину всей суммы частот или равна ей. Итак, разделив 510 на 2, получаем, что этому критерию соответствует интервал со значением зарплаты от 250000 руб. до 300000 руб. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

М е = Х Ме + i Ме * (∑f/2 - S Ме-1)/f Ме = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286,96 тыс. руб.

Надеемся, наша статья оказалась полезной, и теперь вы имеете ясное представление о том, что такое медиана в статистике и как ее следует рассчитывать.