Линейный коэффициент корреляции. Корреляционный анализ. Линейная корреляция. Выборочный коэффициент корреляции

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y. Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:

• - вычисление выборочных коэффициентов корреляции;
• - составление корреляционной таблицы;
• - проверка статистической гипотезы значимости связи.

Определение. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и ф(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.

Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возрасте, чем у школьников одного и того же класса.

Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции rB состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r. Принимая во внимание формулы:

Видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0 меньше r меньше 1.

4. Чем ближе r к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.

По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе - сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.

Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 11:

Требуется:

• 1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции.
• 2. Оценить характер и силу корреляционной зависимости.
• 3. Написать уравнение линейной регрессии Y на Х.

Решение. По известным формулам:

Таким образом, следует сделать вывод, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами Х и Y является по характеру - обратной, по силе - средней. Уравнение линейной регрессии Y на Х:

Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт.). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы:

Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х.

Решение. Для упрощения вычислений перейдем к новым переменным - условным вариантам (ui, vi), воспользовавшись формулами при

Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях:

Вывод: Корреляционная зависимость между величинами Х и Y - прямая и сильная.

Выбрав вид функции регрессии, т.е. вид рассматриваемой модели зависимости Y от Х (или Х от У), например, линейную модель, необходимо определить конкретные значения коэффициентов модели. При различных значениях а и b можно построить бесконечное число зависимостей, т.е. на координатной плоскости имеется бесконечное количество прямых, нам же необходима такая зависимость, которая соответствует наблюдаемым значениям наилучшим образом. Таким образом, задача сводится к подбору наилучших коэффициентов.

Линейную функцию ищем, исходя лишь из некоторого количества имеющихся наблюдений. Для нахождения функции с наилучшим соответствием наблюдаемым значениям используем метод наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов требуется, чтобы еi, разность между измеренными yi и вычисленными по уравнению значениям Yi, была минимальной. Следовательно, находим коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:

Исследуя на экстремум эту функцию аргументов а и с помощью производных, можно доказать, что функция принимает минимальное значение, если коэффициенты а и b являются решениями системы:

Если разделить обе части нормальных уравнений на n, то получим:

При этом b называют коэффициентом регрессии; a называют свободным членом уравнения регрессии и вычисляют по формуле:

Полученная прямая является оценкой для теоретической линии регрессии. Имеем:

Регрессия может быть прямой (b больше 0) и обратной (b меньше 0). Прямая регрессия означает, что при росте одного параметра, значения другого параметра тоже увеличиваются. А обратная, что при росте одного параметра, значения другого параметра уменьшаются.

Пример 1. Результаты измерения величин X и Y даны в таблице:

Предполагая, что между X и Y существует линейная зависимость, способом наименьших квадратов определить коэффициенты a и b. Решение. Здесь n=5:

Решая эту систему, получим:

Пример 2. Имеется выборка из 10 наблюдений экономических показателей (X) и (Y).

Требуется найти выборочное уравнение регрессии Y на X. Построить выборочную линию регрессии Y на X.

Решение. 1. Проведем упорядочивание данных по значениям xi и yi. Получаем новую таблицу:

Для упрощения вычислений составим расчетную таблицу, в которую занесем необходимые численные значения.

Согласно формуле, вычисляем коэффициента регрессии:

Нанесем на координатной плоскости точки (xi; yi) и отметим прямую регрессии.

На графике видно, как располагаются наблюдаемые значения относительно линии регрессии. Для численной оценки отклонений yi от Yi, где yi наблюдаемые, а Yi определяемые регрессией значения, составим таблицу:

Значения Yi вычислены согласно уравнению регрессии. Заметное отклонение некоторых наблюдаемых значений от линии регрессии объясняется малым числом наблюдений. При исследовании степени линейной зависимости Y от X число наблюдений учитывается. Сила зависимости определяется величиной коэффициента корреляции.

Экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Одной из основных задач в экономических исследованиях является анализ зависимостей между переменными.

Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего два типа связей:

• функциональные - характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Этот тип связи выражается в виде формульной зависимости. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов;
• корреляционные - между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.

Изучая взаимосвязи между признаками, их классифицируют по направлению, форме, числу факторов:

• по направлению связи делятся на прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака- фактора. Например, чем выше квалификация рабочего, тем выше уровень производительности его труда (прямая связь). Чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции (обратная связь);
• по форме (виду функции) связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные). Линейная связь отображается прямой линией, нелинейная - кривой (парабол ой, гиперболой и т.п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака;
• по количеству факторов, действующих на результативный признак, связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции .

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит п наблюдений.

При изучении взаимосвязи между двумя факторами их, как правило, обозначают Х= (х р х 2 , ...,х п) и Y= (у { , у 2 , ...,у и).

Ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух переменных. Например, положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Ковариация между двумя переменными X и Y рассчитывается следующим образом:

где- фактические значения переменных

X и г;

Если случайные величины Хи Y независимы, теоретическая ковариация равна нулю.

Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные Хи У, она является ненормированной величиной. Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

Для двух переменных X и Y коэффициент парной корреляции

определяется следующим образом:

где SSy - оценки дисперсий величин Хи Y. Эти оценки характеризуют степень разброса значений х { ,х 2 , ...,х п (у 1 ,у 2 ,у п) вокруг своего среднего х (у соответственно), или вариабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

Дисперсия (оценка дисперсии) определяется по формуле

В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (п-р), где п - объем выборки, р - число наложенных на выборку связей. Так как выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, то число наложенных связей в данном случае равно единице (р = 1), а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (п - 1).

Более естественно измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением (стандартным отклонением ) или стандартной ошибкой переменной X (переменной Y) и определяемый соотношением

Слагаемые в числителе формулы (3.2.1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак корреляции (положительная или отрицательная). Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента парной корреляции [см. формулу (3.2.2)] просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности, и принимает значения от -1 до +1.

Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, есть ковариация ХиУ. Несмотря на то что иногда она используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции. Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.

Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются различные шкалы, наиболее часто - шкала Чеддока. В зависимости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок:

• 0,1-0,3 - слабая;
• 0,3-0,5 - заметная;
• 0,5-0,7 - умеренная;
• 0,7-0,9 - высокая;
• 0,9-1,0 - весьма высокая.

Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. В связи с этим возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием 7-критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле

Вычисленное по этой формуле значение / набл сравнивается с критическим значением 7-критерия, которое берется из таблицы значений /-критерия Стьюдента (см. Приложение 2) с учетом заданного уровня значимости ос и числа степеней свободы (п - 2).

Если 7 набл > 7 табл, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если значение г у х близко к нулю, связь между переменными слабая. Если корреляция между случайными величинами:

• положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;
• отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать. Удобным графическим средством анализа парных данных является диаграмма рассеяния , которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам. Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты х (. и у г По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина г будет ближе к единице.

Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества признаков получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Пусть вся совокупность данных состоит из переменной Y = = (у р у 2 , ..., у п) и т переменных (факторов) X, каждая из которых содержит п наблюдений. Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в таблицу (табл. 3.2.1).

Таблица 3.2.1

На основании данных, содержащихся в этой таблице, вычисляют матрицу коэффициентов парной корреляции R, она симметрична относительно главной диагонали:

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции используют при построении моделей множественной регрессии.

Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:

• 1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
• 2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.

Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции.

Решение первой задачи (определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции по формуле

где R - R [см. формулу (3.2.6)]; Rjj - алгебраическое дополнение элемента той же матрицы R.

Квадрат коэффициента множественной корреляции Щ j 2 j _j J+l m принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации ; он показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Xj объясняет вариация остальных случайных величин Х { , Х 2 ,..., Х т.

Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R 2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные, и не увеличится, если исключать какие-либо из имеющихся признаков.

Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется путем сравнения расчетного значения /’-критерия Фишера

с табличным F raбл. Табличное значение критерия (см. Приложение 1) определяется заданным уровнем значимости а и степенями свободы v l = mnv 2 = n-m-l. Коэффициент R 2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния других случайных величин (одной или нескольких).

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле

где R Jk , Rjj, R kk - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы R [см. формулу (3.2.6)].

Частный коэффициент корреляции, также как и парный коэффициент корреляции, изменяется от -1 до +1.

Выражение (3.2.9) при условии т = 3 будет иметь вид

Коэффициент г 12(3) называется коэффициентом корреляции между х { и х 2 при фиксированном х у Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к фиксированной переменной.

Пример 3.2.1. Вычисление коэффициентов парной,

множественной и частной корреляции.

В табл. 3.2.2 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

• 1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов».
• 2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).
• 3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.
• 4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.
• 5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.
• 6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

1. В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 3.2.1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных Х 2 Y (объем продаж).

Рис. 3.2.1.

2. Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными Х 2 (индекс потребительских расходов) и Y (объем продаж) приведены в табл. 3.2.3.

Средние значения случайных величин Х 2 и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности jCj, х 2 , ..., х 16 и y v y 2 , ..., у 16 , рассчитаем по следующим формулам:

Таблица 3.2.3

Дисперсия характеризует степень разброса значений x v x 2 ,х :

Рассмотрим теперь решение примера 3.2.1 в Excel.

Чтобы вычислить корреляцию средствами Excel, можно воспользоваться функцией =коррел (), указав адреса двух столбцов чисел, как показано на рис. 3.2.2. Ответ помещен в D8 и равен 0,816.

Рис. 3.2.2.

(Примечание. Аргументы функции коррел должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Если массив! и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция коррел возвращает значение ошибки #н/д.

Если массив1 либо массив2 пуст или если о (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то функция коррел возвращает значение ошибки #дел/0 !.)

Критическое значение /-статистики Стьюдента может быть также получено с помощью функции стьюдраспробр 1 пакета Excel. В качестве аргументов функции необходимо задать число степеней свободы, равное п - 2 (в нашем примере 16 - 2= 14) и уровень значимости а (в нашем примере а = 0,1) (рис. 3.2.3). Если фактическое значение /-статистики, взятое по модулю, больше критического, то с вероятностью (1 - а) коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Рис. 3.2.3. Критическое значение /-статистики равно 1,7613

В Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения различных статистических задач. Для вычисления матрицы коэффициентов парной корреляции R следует воспользоваться инструментом Корреляция (рис. 3.2.4) и установить параметры анализа в соответствующем диалоговом окне. Ответ будет помещен на новый рабочий лист (рис. 3.2.5).

1 В Excel 2010 название функции стьюдраспробр изменено на стью-

ДЕНТ.ОБР.2Х.

Рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.5.

• Основоположниками теории корреляции считаются английские статистики Ф. Гальтон (1822-1911) и К. Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает «соотношение, соответствие». Представление о корреляции как взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит воснове математико-статистической теории корреляции.

При расчете этого показателя учитываются величины отклонений индивидуальных значений признака от средней, т.е. соответственно для факторного и результативного признаков величины .

Однако непосредственно сопоставлять между собой данные абсолютные величины нельзя. Признаки могут быть выражены в разных единицах, а при одинаковых единицах измерения средние могут быть различны по величине. Сравнению подлежат отклонения, выраженные в долях среднего квадратического отклонения (нормированные отклонения).

Рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений, которое называется линейным коэффициентом корреляции :

Выполнив несложные преобразования, можно получить следующую формулу для расчета линейного коэффициента корреляции:

При пользовании этой формулой отпадает необходимость вычислять отклонения индивидуальных значений признаков от средней величины, что исключает ошибку в расчетах при округлении средних величин.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от -1 до + 1 . Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи. Прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной зависимости - знак минус. Линейный коэффициент корреляции применяется для измерения тесноты связи только при линейной форме связи .

Равенство говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости, но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более статистической зависимости. Величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объемах выборочной совокупности.

Пусть по результатам выборочного наблюдения . Объясняется ли это действительно существующей корреляционной связью между признаками в генеральной совокупности или является следствием случайности отбора элементов в выборку?

По вычисленному значению выборочного коэффициента корреляции требуется проверить гипотезу

Н 0: коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю при альтернативе

Н 1: коэффициент корреляции в генеральной совокупности не равен нулю.

В качестве статистического критерия для гипотезы Н 0 обычно используется величина

которая распределена по закону Стьюдента с степенями свободы. Гипотеза Н 0 отвергается (т.е. зависимость считается установленной), если превысит допустимое значение при уровне значимости и степенями свободы. Некоторые значения критерия приведены ниже в таблице.

Таблица 11.

Допустимые значения критерия Стьюдента при числе степеней свободы и уровне значимости .

0,05	0,01
	2,10	2,88
	2,09	2,86
	2,09	2,85
	2,08	2,83
	2,07	2,82
	2,07	2,81
	2,06	2,80
	2,06	2,79
	2,06	2,78
	2,05	2,77
	2,05	2,76
	2,05	2,76
	2,04	2,75
	2,02	2,70
	2,00	2,66
	1,98	2,62
	1,96	2,58

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между признаками. При криволинейной зависимости линейный коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен 0, а потому в таких случаях рекомендуется использовать в качестве показателя степени тесноты связи другие величины. Рассмотрим эмпирическое корреляционное отношение .

Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме средней из групповых и межгрупповой

Или

Корреляционное отношение равно нулю, когда нет колеблемости в величине средних значений результативного признака по выделенным группам. В тех случаях, когда средняя из групповых дисперсий близка к нулю, т.е. практически вся вариация результативного признака обусловлена действием фактора , величина корреляционного отношения близка к 1. Направление связи мы легко установим по данным групповой таблицы (см. пример 9).

Линейный коэффициент корреляции

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции (r ).

При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина таких отклонений, т.е. соответственно для факторного и результативного признаков, величины и . Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (как это имеет место в представленном примере), а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине. В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относительных величинах, т.е. в долях среднего квадратического отклонения (их называют нормированными отклонениями). Так, для факторного признака будем иметь совокупность величин , а для результативного .

Полученные нормированные отклонения можно сравнивать между собой. Для того чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет являться линейным коэффициентом корреляции r .

(1.2)

или поскольку s x и s y для данных рядов являются постоянными и могут быть вынесены за скобку, то формула линейного коэффициента корреляции приобретает следующий вид:

(1.3)

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи: прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратный зависимости – знак минус.

Если с увеличением значений факторного признака х , результативный признак у имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений х результативный признак у имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до –1.

Полученная величина линейного коэффициента корреляции, как и найденный выше коэффициент Фехнера, свидетельствует о возможном наличии достаточно тесной прямой зависимости между затратами на рекламу и количеством туристов, воспользовавшихся услугами фирмы.

Квадрат коэффициента корреляции (r 2) носит название коэффициента детерминации . Для рассматриваемого примера его величина равна 0,6569, а это означает, что 65,69% вариации числа клиентов, воспользовавшихся услугами фирмы, объясняется вариацией затрат фирм на рекламу своих услуг.

Здесь еще раз следует напомнить, что сама по себе величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.

Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка?

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y.

Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:
1. Вычисление выборочных коэффициентов корреляции.
2. Составление корреляционной таблицы.
3. Проверка статистической гипотезы значимости связи.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и φ(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.

Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возраcте, чем у школьников одного и того же класса.

Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

где σ X и σ Y выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y, которые вычисляются по формулам:

Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции r B состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r: r=r B (9)

Принимая во внимание формулы:

видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

(10)

где . То же можно сказать о выборочном уравнений линейной регрессии Х на Y:

(11)

Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.
2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.
3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.

По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе – сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.

Сила и характер связи между параметрами

Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 11:

X	68	37	50	53	75	66	52	65	74	65	54
Y	114	149	146	141	114	112	124	105	141	120	124

Требуется:
1) Вычислить выборочный коэффициент корреляции;
2) Оценить характер и силу корреляционной зависимости;
3) Написать уравнение линейной регрессии Y на Х.

Решение. По известным формулам:

Отсюда, по (7) и (8):

Таким образом, следует сделать вывод, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами Х и Y является по характеру – обратной, по силе – средней.

3) Уравнение линейной регрессии Y на Х:

Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы:

Y\X	18	22	26	30	n y
70	5				5
75	7	46	1		54
80		29	72		101
85			29	8
90				3	3
n x	12	75	102	11	200

Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х.

Решение. Для упрощения вычислений перейдем к новым переменным – условным вариантам (u i , v i), воспользовавшись формулами (*) (§3) при h 1 =4, h 2 =5, x 0 =26, y 0 =80. Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях:

u\v	-2	-1	0	1	n v
-2	5				5
-1	7	46	1		54
0		29	72		101
1			29	8
2				3	3
n u	12	75	102	11	200

Имеем при x i =u i и y j =v j:

Таким образом:

Отсюда,

Вывод: Корреляционная зависимость между величинами Х и Y - прямая и сильная.