Механические и электромагнитные колебания. Сложение двух гармонических колебаний одного направления
Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением
|
x = x m cos (ωt + φ 0). |
Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :
Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением
В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:
Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:
следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
Сложение гармонических колебаний одного направления.
Биения
Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы, состояние которой определяется зависимостью некоторой величины от времени. Пусть колебание в этой системе представляет собой сумму двух гармонических колебаний с одинаковой частотой , но различными амплитудами и начальными фазами, т. е.
Так как "смещение" колебательной системы от положения равновесия происходит вдоль одного единственного "направления" , то в этом случае говорят о сложении гармонических колебаний одного направления. На векторной диаграмме складываемые колебания изобразятся в виде двух векторов и , повернутых относительно друг друга на угол 
(рис. 6.1). Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то их взаимное положение будет оставаться неизменным в любой момент времени, и результирующее колебание будет изображаться вектором, равным сумме векторов и . Складывая векторы по правилу параллелограмма и используя теорему косинусов, получим
. (6.3)
Таким образом, при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются выражениями (6.2), (6.3).
Два гармонических колебания, которые совершаются с одинаковой частотой и имеют постоянную разность фаз, называются когерентными . Следовательно, при сложении когерентных колебаний получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются амплитудами и начальными фазами складываемых колебаний.
Если складываемые колебания имеют разные частоты и , но одинаковые амплитуды 
, то, используя известное из тригонометрии выражение для суммы косинусов двух углов, получим
Из полученного выражения видно, что результирующее колебание не является гармоническим.
Пусть частоты складываемых колебаний близки друг к другу так, что и . Этот случай называется биением двух частот.
Обозначив 
, 
и 
, можно записать
. (6.5)
Из выражения (6.5) следует, что результирующее колебание можно представить как гармоническое колебание с некоторой средней частотой , амплитуда которого медленно (с частотой ) меняется во времени. Время 
называется периодом биений
, а 
– частотой биений
. График биений изображен на рисунке 6.2. Биения возникают при 
одновременном звучании двух камертонов одинаковой тональности. Их можно наблюдать с помощью осциллографа при сложении гармонических колебаний двух генераторов, настроенных на одну частоту. В обоих случаях частоты источников колебаний будут немного различаться, в результате чего возникнут биения.
Так как колебания происходят с разными частотами, то разность фаз складываемых колебаний изменяется во времени, следовательно, колебания не являются когерентными. Изменение во времени амплитуды результирующих колебаний является характерным следствием некогерентности складываемых колебаний .
Сложение колебаний очень часто наблюдается в электрических цепях и, в частности, в радиотехнических устройствах связи. В одних случаях это делается целенаправленно, чтобы получить сигнал с заданными параметрами. Так, например, в гетеродинном приемнике принимаемый сигнал складывается (смешивается) с сигналом гетеродина, чтобы в результате последующей обработки получить колебание промежуточной частоты. В других случаях сложение колебаний происходит самопроизвольно, когда на вход устройства кроме полезного сигнала поступает какая-либо помеха. По сути, все многообразие формы электрических сигналов представляет собой результат сложения двух или большего числа гармонических колебаний.
4 Колебания и волны
Основные формулы и определения
●Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид: x = A sin (ω 0 t + α) или x = A cos (ω 0 t + α), где x - смещение частицы от положения равновесия, A 0 – круговая (или циклическая) частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω 0 = 2π/Т.
Скорость колеблющейся точки равна первой производной, а ускорение равно второй производной от смещения по времени.
● Для того чтобы сложить два колебания одного направления и одинаковой частоты (или периода), нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Для этого надо представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда результирующая амплитуда A находится по теореме косинусов:
А 2 = А 1 2 + А 2 2 + 2∙А 1 ∙А 2 ∙cos(∆φ), где А 1 и А 2 - амплитуды складываемых колебаний, ∆φ - разность фаз.
●sin (ωt – kx ), где ξ - смещение частиц среды от положения равновесия, A – амплитуда волны, k = ω / v v – скорость распространения волны. Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v∙Т= v/ ν , где Т – период волны и ν – частота колебаний частиц среды.
● Вектор плотности потока энергии упругой волны равен произведению объёмной плотности энергии на вектор скорости распространения упругой волны:. =w· .
● =[ · , где - напряженность электрического поля, -напряженность магнитного поля электромагнитной волны. Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор () ко второму (), ().
Тест 4 – 1
Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =4 см и периодом Т=2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется (в соответствии с уравнением СИ)...
Варианты ответов:
х = 0,04∙sin (2t ) ; 2) х = 0,04∙cos (2t );
x = 0,04∙sin(π t ); 4) x = 0,04∙cos (π t ).
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A ∙ sin (ω 0 t + α) или x = A ∙ cos (ω 0 t + α), где A – амплитуда, α – начальная фаза, ω 0 – частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω 0 = 2π/Т. По условию задачи: А = 0.04 м, α = 0, ω 0 = 2π/2 = π , x(0)=0. Начальному условию удовлетворяет формула 3.
Ответ : вариант 3.
Тест 4 – 2
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А 0 . При разности
фаз ∆φ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна...
Варианты ответов:
1) 5 А 0 /2; 2) А 0 ; 3) 2 А 0 ; 4) 0.
Для
того чтобы сложить два колебания
одинаковой частоты (или периода) и
одинакового направления, нужно
воспользоваться методом векторных
диаграмм. Нужно представить каждое
колебание в виде вектора, длина которого
равна амплитуде, а угол наклона к оси
абсцисс равен начальной фазе. Тогда для
нахождения результирующей амплитуды
нужно применить теорему косинусов:
А 2 = А 1 2 + А 2 2 + 2∙А 1 ∙А 2 ∙cos ∆φ, где ∆φ - разность фаз. На рисунке показана векторная диаграмма, соответствующая условию теста 4 – 2. В нашем примере векторы А 1 и А 2 имеют одинаковую длину, т.к. их амплитуды одинаковы: А 1 = А 2 =А 0 , а угол между векторами А 1 и А 2 равен разности фаз: ∆φ = 3π/2 = - π/2. Применим теорему косинусов для нахождения результирующей амплитуды: А 2 = А 0 2 + А 0 2 + 2∙А 0 ∙А 0 ∙cos(-π/2 ). Так как cos(-π/2 )=0, то А 2 = А 0 2 + А 0 2 и результирующая амплитуда, найденная по теореме Пифагора, будет равна: А = А 0 . Ответ : вариант 2.
Тест 4 – 3
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной … Варианты ответов: 1) 0; 2) π; 3) π /4 ; 4) π /2 .
При сложении гармонических колебаний одинакового направления нужно воспользоваться методом векторных диаграмм, а именно, каждое колебание представить в виде вектора. Если эти вектора имеют одинаковое направление, т.е. разность фаз равна нулю, то их амплитуды складываются и результирующая амплитуда будет максимальной.
Тест 4 – 4
Уравнение движения пружинного маятника
d 2 x/dt 2 + (b/m)∙dx/dt + (k/m)·x = 0
является дифференциальным уравнением...
Варианты ответов: 1) вынужденных колебаний;
2) свободных затухающих колебаний;
3) свободных незатухающих колебаний.
Проанализируем варианты ответов.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
d 2 x/dt 2 + 2β·(dx/dt) +ω 0 2 x = F/m,
где β – коэффициент затухания, ω 0 – частота собственных колебаний. Это уравнение является неоднородным, т.е. правая часть уравнения не равна нулю и содержит слагаемое, связанное с вынуждающей силой.
Так как в заданном уравнении правая часть равна нулю, то рассматриваемое уравнение является однородным. Следовательно, оно представляет собой уравнение свободных колебаний. В дифференциальном уравнении свободных затухающих колебаний должно присутствовать слагаемое, содержащее первую производную от смещения по времени, связанное с наличием силы трения. Такое слагаемое есть в этом уравнении. Поэтому, рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний. Ответ : вариант 2.
Тест 4 – 5
На
рисунках изображены зависимости от
времени координаты и ускорения
материальной точки, колеблющейся по
гармоническому закону.
Циклическая частота ω 0 колебаний точки равна:
Варианты ответов: 1) 1с -1 ; 2) 2с -1 ; 3) 4с -1 ; 4) 3с -1 .
Пусть уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A cos (ω 0 t + α 0 ). Тогда найдем ускорение как вторую производную от смещения по времени:
а = - A ω 0 2 cos (ω 0 t + α 0 ). Из сопоставления этих формул, получим: а = - ω 0 2 ·х. Из графиков для одного и того же момента времени t найдём х и а. Например, для t = 0.8 с х = 1 м, а = - 4 .0 м/с 2 . Подставим эти числа в последнюю формулу и найдём ω 0 2 = 4. Отсюда ω 0 =2 с - 1 .
Ответ : вариант 2.
Тест 4 – 6
На рисунке изображен график затухающих колебаний, где S -колеблющаяся величина, описываемая уравнением:
S(t) = A o e -t/τ sin(ω 1 t+ φ). Определите время релаксации τ (в с).
Варианты
ответов:
1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 0,5.
Временем релаксации называется время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Число е равно: е = 2.7…. Из рисунка видно, что в момент времени t 1 = 0 амплитуда равна А 1 = 2.7,а в момент времени t 2 = 2 с амплитуда А 2 = 1. Следовательно, время релаксации τ = t 2 - t 1 = 2-0 =2 с, т.к. за это время амплитуда уменьшилась А 1 / А 2 = 2.7 = е раз.
Ответ : вариант 3.
Тест 4 – 7
Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменном коэффициенте трения среды увеличить в 2 раза массу грузика на пружине, то время релаксации…
Варианты ответов: 1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза;
3) увеличится в 4 раза; 4) уменьшится в 2 раза.
Время релаксации вычисляется как величина, обратная коэффициенту затухания: τ = 1/β. Для пружинного маятника коэффициент затухания равен: β = r/(2m), где r – коэффициент трения (или коэффициент сопротивления среды), m – масса грузика на пружине. Тогда время релаксации равно τ = 2m/r.
При r = const, если массу грузика увеличить в 2 раза, то время релаксации увеличится в 2 раза.
Тест 4 – 8
Точка М одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид:
Варианты ответов: 1) фигура1; 2) фигура2; 3 ) фигура3; 4) фигура4.
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, но с различными амплитудами, траектория результирующего движения точки представляет собой эллипс. Уравнение произвольно ориентированного эллипса имеет вид: x 2 /A 2 + y 2 /B 2 - 2·(x/A)·(y/B)·cos ∆φ = sin 2 ∆φ, где A и B –амплитуды колебаний вдоль осей x и y. По условию задачи разность фаз равна ∆φ = π/2. Поскольку cos (π/2) = 0 и sin (π/2) = 1, то уравнение траектории будет иметь вид: x 2 /A 2 + y 2 /B 2 = 1, что представляет собой уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат. Такой эллипс представлен на рисунке1 фигурой 1.
Тест 4 – 9
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01sin(l0 3 t - 2x). Тогда скорость распространения волны (в м/с) равна...
Варианты ответов: 1) 500; 2) 2; 3) 1000.
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид: ξ = А sin (ωt – kx ), где k = ω / v – волновое число, ω – круговая частота,
v – скорость распространения волны. Из сопоставления этой формулы с формулой, данной в условии задачи, следует, что ω = 10 3 , k = 2. Вычислим скорость распространения волны: v = ω / k = 10 3 /2 = 500.
Ответ : вариант 1.
Тест 4 – 10
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01sin l0 3 (t -x/500). Длина волны (в м) равна...
Варианты ответов: 1) 1000; 2) 2; 3) 3,14.
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:
ξ = А sin (ωt – kx ), где ω – круговая частота, k - волновое число, равное k=2π/λ, в нашей задаче имеет вид: ξ = 0,01 sin (10 3 t – 10 3∙ x /500). Отсюда k =10 3 /500= 2. Поэтому λ =2π/k =2π/2= π = 3, 14.
Задание С4-9 для самостоятельного решения.
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ со скоростью 500 м/с, имеет вид ξ = 0,01sin(ωt -2 x ). Циклическая частота ω (в с -1) равна...
Варианты ответов: 1) 1000; 2) 159; 3) 0,001.
Тест 4 – 11
Для продольной волны справедливо утверждение...
Варианты ответов:
1) Возникновение волны связано с деформацией сдвига.
2) Частицы среды колеблются в направлении распространения волны.
3) Частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Продольной волной называется такая волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Поперечной волной называется волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Возникновение поперечной волны связано с деформацией сдвига. Для продольной волны справедливо утверждение: частицы среды колеблются в направлении распространения волны.
Ответ : вариант 2.
Тест 4 – 12
Сейсмическая упругая волна, падающая со скоростью 5,6 км/с под углом 45° на границу раздела между двумя слоями земной коры с различными свойствами, испытывает преломление, причем угол преломления равен 30°. Во второй среде волна будет распространяться со скоростью…
Варианты ответов:
1,4 км/с; 2) 2,8 км/с; 3) 4,0 км/с; 4) 7,8 км/с.
Если рассматривать только направление распространения волны, то для упругой волны можно применить понятие луча и использовать закон преломления лучей.
По закону преломления лучей отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения волны в первой и во второй средах: sin α /sin β = v 1 / v 2 . Отсюда скорость распространения волны во второй среде равна : v 2 = v 1 · sin β/ sin α. Проведём вычисления:
v 2 = 5,6· sin 30°/sin 45° = 5,6·(1/2)/( /2) = 5,6/1,41 = 3,97… = 4,0 км / с .
Ответ : вариант 3.
Тест 4 – 13
На
рисунке представлена мгновенная
фотография электрической составляющей
электромагнитной волны, переходящей
из среды 1
в среду 2
перпендикулярно границе раздела АВ
.
Относительный показатель преломления среды 2 относительно среды 1 равен …
Варианты ответов:
1) 1,75; 2) 1,5; 3) 1; 4) 0,67.
Относительный показатель преломления равен отношению скорости распространения волны в первой среде к скорости её распространения во второй среде: n 21 = v 1 / v 2 . Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v/ν, где ν – частота волны. При переходе через границу раздела двух сред частота волны не изменяется, поэтому выполняется следующее соотношение: λ 1 / λ 2 = v 1 / v 2 .Из рисунка, на котором показана половина длины волны, следует, что λ 1 =0,375∙2=0,75 мкм и λ 2 =0,25∙2=0,5 мкм. Поэтому относительный показатель преломления равен:
n 21 = v 1 / v 2 = λ 1 / λ 2 =0,75/0,5= 1,5.
Ответ: вариант 2.
Тест 4 – 14
Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность...
Варианты ответов: 1) В∙А/м 2 ; 2) В∙А∙м 2 ; 3) В ∙А∙с/м 2 ; 4) В ∙А∙с∙м 2 .
Плотность потока энергии электромагнитной волны численно равна энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Энергия, переносимая волной за единицу времени, называется мощностью. Мощность в механике (для упругой волны) измеряется в ваттах, мощность электромагнитной энергии измеряется в вольтах, умноженных на ампер (В∙А). Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность В∙А/м 2 .
Ответ : вариант 1.
Тест 4 – 15
Если увеличить в 2 раза объемную плотность энергии и при этом увеличить в 2 раза скорость распространения упругих волн, то плотность потока энергии...
Варианты ответов: 1) увеличится в 4 раза;
2) увеличится в 2 раза;
3) останется неизменной.
Плотность потока энергии упругой волны по модулю равна произведению объёмной плотности энергии на скорость распространения упругой волны: j=w· v. При увеличении в 2 раза объемной плотности энергии w и в 2 раза скорости распространения упругой волны v объёмная плотность энергии увеличится в 4 раза. Ответ : вариант 1.
Тест 4 - 16
Колебательный контур состоит из последовательно соединенных емкости, индуктивности и резистора. К контуру подключено переменное напряжение (рис.).
При
некоторой частоте внешнего напряжения
амплитуды
падений напряжений на элементах цепи
соответственно
равны Ur
=
4 В, Ul
=
3 В, Uc.=
6 В. При этом
амплитуда приложенного напряжения
равна...
Варианты ответов:
1) 3 В; 2) 4 В; 3) 5В; 4) 1ЗВ.
Если
в колебательный контур подключено
переменное напряжение, описываемое
уравнением: U = U
m
cos (ωt), то в цепи потечет переменный ток,
который вызовет на элементах цепи
соответствующие падения напряжения
U
R
,
U
L
и U
C
.
Расчёты показывают, что падение напряжения
на индуктивности U
L
опережает по фазе на π/2 падение
напряжения на активном сопротивлении
U
R
,
а падение напряжения на ёмкости U
C
отстаёт по фазе на π /2 от падения
напряжения на активном сопротивлении
U
R
.
Наглядно это можно изобразить с помощью
метода векторных диаграмм.
Амплитуда приложенного напряжения U m должна быть равна векторной сумме амплитуд этих напряжений. По теореме Пифагора: U m 2 = (U L - U C ) 2 + U R 2 .
Проведём вычисления;U m 2 = (3 – 6) 2 + 4 2 = 3 2 + 4 2 =25 =5 2 . Отсюда: U m = 5 В.
Ответ : вариант 3.
Тест 4 - 17
На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического () и магнитного () полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...
Варианты
ответов:
1) направление 4;
2) направление 1;
3) направление 2;
4) направление 3.
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны равен векторному произведению: =[ · . Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор () ко второму вектору (), то поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения (). В нашем случае вектор плотности потока энергии ориентирован в направлении 1, т.е. в сторону распространения электромагнитной волны.
Ответ : вариант 2.
Тест 4 – 18
На
рисунке представлена зависимость
относительной амплитуды колебаний
силы тока в катушке индуктивностью
1мГн, включенной в колебательный
контур. Емкость конденсатора этого
контура равна...
Варианты ответов:
1) 0,1нф; 2) 1нф;
3) 100нф; 4) 10нф.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний (резонанс) наблюдается, при совпадении частоты собственных колебаний с частотой вынужденных колебаний ω 0 = ω р . Частота собственных колебаний в колебательном контуре вычисляется по формуле: ω 0 = 1/ , где L – индуктивность, C – ёмкость. Поэтому 1/ = ω р . Отсюда C = 1/(L ω р 2 ). По условию задачи L = 1 мГн = 10 -3 Гн. Из графика ω р = 10 6 рад/с. Вычислим ёмкость конденсатора: C =1/(10 -3 · 10 12 ) = 10 – 9 Ф = 1 нф.
Ответ : вариант 2
Тест 4 – 19
На рисунке представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с жесткостью k = 10 Н/м от частоты внешней силы. Определите максимальную энергию системы.
Варианты
ответов:
1) 40 Дж;
2) 0,002 Дж;
3 ) 0,02 Дж;
4) 20 Дж.
Полная энергия колеблющейся системы равна W = m ω 2 · A 2 /2, где m – масса, ω – частота колебаний, равная частоте вынужденных колебаний системы, А – амплитуда колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы. При совпадении частоты собственных колебаний ω 0 с частотой вынужденных колебаний наблюдается резонанс, т.е. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При резонансе амплитуда будет максимальной А = А max , резонансная частота равна ω р = ω 0 и максимальная энергия системы будет равна W max = m ω 0 2 · A max 2 /2. Учтем, что коэффициент жесткости пружины равен: k = m ω 0 2 , где ω 0 - частота собственных колебаний. Тогда W max = k · A max 2 /2. Найдем из рисунка
Страница 3 из 6
41. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора емкостью C = 39,5 мкФ. Заряд конденсатора Q m = 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запишите уравнение: 1) изменения силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
42. Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, со временем изменяется согласно уравнению I = - 0,1 sin 200πt, А. Определите: 1) период колебаний; 2) емкость конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля.
43. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в n = 2 раза. Определите работу, совершенную против сил электрического поля.
44. Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения U m и замкнули на катушку индуктивностью L. Пренебрегая сопротивлением контура, определите амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре.
45. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков N = 100 индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор емкостью C = 1 нФ. Максимальное напряжение U m на обкладках конденсатора составляет 100 В. Определите максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку.
46. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами A 1 = 4 см и A 2 = 8 см имеют разность фаз φ = 45° . Определите амплитуду результирующего колебания.
47. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна A = 6 см. Определите амплитуду A 2 второго колебания, если A 1 = 5 см.
48. Определите разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты и амплитуды, если амплитуда их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.
49. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода T = 4 с и одинаковой амплитуды A = 5 см составляет π/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.
50. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x 1 = 3 cos 2πt, см и x 2 = 3 cos (2πt + π/4), см. Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.
51. Точка одновременно участвует в n одинаково направленных гармонических колебаниях одинаковой частоты: A 1 cos(ωt + φ 1), A 2 cos(ωt + φ 2),A n cos(ωt)/ + φ n). Используя метод вращающегося вектора амплитуды, определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу.
52. Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов строены на 560 и 560,5 Гц. Определите период биений.
53. В результате сложения двух колебаний, период одного из которых T 1 = 0,02 с. получают биения с периодом T 6 = 0,2 с. Определите период T 2 второго складываемого колебания.
54. Складываются два гармонических колебания одного направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы, с периодами T 1 = 2 с и T 2 = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего колебания; 2) период биения.
55. Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением вида x = A cost cos45t (t -в секундах). Определите: 1) циклические частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующего колебания.
56. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3 cos ωt, см и y = 4 cos ωt, см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
57. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3 cos 2ωt, см и y = 4 cos(2ωt + п), см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
58. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = A sin ωt и y = В cos ωt, где A, B и ω - положительные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.
59. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = A sin(ωt + π/2) и y = A sin πt. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.
60. Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х = cos 2π/ и y = cos πt. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.