Примеры колебательного движения в физике. Колебательное движение

Тема данного урока: «Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы». Вначале дадим определение нового вида движения, который мы начинаем изучать, - колебательного движения. Рассмотрим в качестве примера колебания пружинного маятника и определим понятие свободных колебаний. Также изучим, что такое колебательные системы, и обсудим условия, необходимые для существования колебаний.

Колебание - это периодическое изменение любой физической величины: колебания температуры, колебания цвета светофора и т. д. (рис. 1).

Рис. 1. Примеры колебаний

Колебания - самый распространенный вид движения в природе. Если касаться вопросов, связанных с механическим движением, то это самый распространенный вид механического движения. Обычно говорят так: движение, которое с течением времени полностью или частично повторяется, называется колебанием . Механические колебания - это периодические изменение физических величин, характеризующих механическое движение: положения тела, скорости, ускорения.

Примеры колебаний: колебание качелей, шевеление листьев и качание деревьев под воздействием ветра, маятник в часах, движение человеческого тела.

Рис. 2. Примеры колебаний

Наиболее распространенными механическими колебательными системами являются:

• Грузик, закрепленный на пружине - пружинный маятник . Сообщая маятнику начальную скорость, его выводят из состояния равновесия. Маятник совершает колебания вверх-вниз. Для совершения колебаний в пружинном маятнике имеет значение количество пружин и их жесткость.

Рис. 3. Пружинный маятник

• Математический маятник - твердое тело, подвешенное на длинной нити, совершающее колебание в поле тяготения Земли.

Рис. 4. Математический маятник

Условия существования колебаний

• Наличие колебательной системы. Колебательная система - это система, в которой могут существовать колебания.

Рис. 5. Примеры колебательных систем

• Точка устойчивого равновесия. Именно вокруг этой точки и совершаются колебания.

Рис. 6. Точка равновесия

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Устойчивое: когда система стремится вернуться в первоначальное положение при малом внешнем воздействии. Именно наличие устойчивого равновесия является важным условием того, что в системе могут происходить колебания.

• Запасы энергии, которые приводят к тому, что совершаются колебания. Ведь колебания сами по себе не могут совершаться, мы должны вывести систему из равновесия, чтобы происходили эти колебания. То есть сообщить энергию этой системе, чтобы потом колебательная энергия превращалась в то движение, которое мы рассматриваем.

Рис. 7 Запасы энергии

• Малое значение сил трения. Если эти силы будут большими, то о колебаниях речи идти не может.

Решение главной задачи механики в случае колебаний

Механические колебания - это один из видов механического движения. Главная задача механики - это определение положения тела в любой момент времени. Получим закон зависимости для механических колебаний.

Закон, который необходимо найти, мы постараемся угадать, а не вывести математически, потому что уровня знаний девятого класса недостаточно для строгих математических выкладок. В физике очень часто пользуются таким методом. Сначала пытаются предсказать справедливое решение, а потом его доказывают.

Колебания - это периодический или почти периодический процесс. Это значит, что закон - периодическая функция. В математике периодическими функциями являются или .

Закон не будет являться решением главной задачи механики, так как - безразмерная величина, а единицы измерения - метры. Усовершенствуем формулу, добавив перед синусом множитель, соответствующий максимальному отклонению от положения равновесия - амплитудное значение: . Обратите внимание, что единицами измерения времени являются секунды. Подумайте, что значит, например, ? Данное выражение не имеет смысла. Выражение под синусом должно измеряться в градусах или радианах. В радианах измеряется такая физическая величина, как фаза колебания - произведение циклической частоты и времени.

Свободные гармонические колебания описывает закон:

Используя это уравнение, можно найти положение колеблющегося тела в любой момент времени.

Энергия и равновесие

Исследуя механические колебания, особый интерес следует уделять понятию положения равновесия - необходимому условию наличия колебаний.

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

На рисунке 8 изображен шарик, который находится в сферическом желобе. Если вывести шарик из положения равновесия, на него будут действовать следующие силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила реакции опоры , направленная перпендикулярно касательной по радиусу. Векторная сумма этих двух сил будет равнодействующей, которая направлена обратно к положению равновесия. То есть шарик будет стремится вернуться в положение равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым .

Рис. 8. Устойчивое равновесие

Положим шарик на выпуклый сферический желоб и немного выведем его из положения равновесия (рис. 9). Сила тяжести по-прежнему направлена вертикально вниз, сила реакции опоры по-прежнему перпендикулярна касательной. Но теперь равнодействующая сила направлена в сторону, противоположную начальному положению тела. Шарик будет стремится скатиться вниз. Такое положение равновесия называется неустойчивым .

Рис. 9. Неустойчивое равновесие

На рисунке 10 шарик находится на горизонтальной плоскости. Равнодействующая двух сил в любой точке на плоскости будет одинаковой. Такое положение равновесия называется безразличным .

Рис. 10. Безразличное равновесие

При устойчивом и неустойчивом равновесии шарик стремится занять такое положение, в котором его потенциальная энергия будет минимальной .

Всякая механическая система стремится самопроизвольно занять такое положение, в котором ее потенциальная энергия будет минимальной. Например, нам комфортнее лежать, чем стоять.

Итак, необходимо дополнить условие существования колебаний тем, что равновесие обязательно должно быть устойчивым.

Если данному маятнику, колебательной системе сообщили энергию, то колебания, происходящие в результате такого действия, будут называться свободными . Более распространенное определение: свободными называют колебания , которые происходят только под действием внутренних сил системы.

Свободные колебания еще называют собственными колебаниями данной колебательной системы, данного маятника. Свободные колебания являются затухающими. Они рано или поздно затухают, так как действует сила трения. В данном случае она хоть и малая величина, но не нулевая. Если никакая дополнительная сила не вынуждает двигаться тело, колебания прекращаются.

Уравнение зависимости скорости и ускорения от времени

Для того чтобы понять, меняются ли скорость и ускорение при колебаниях, обратимся к математическому маятнику.

Маятник вывели из положения равновесия, и он начинает совершать колебания. В крайних точках колебания скорость меняет свое направление, причем в точке равновесия скорость максимальная. Если меняется скорость, значит, у тела есть ускорение. Будет ли такое движение равноускоренным? Конечно, нет, так по мере увеличения (уменьшения) скорости меняется и ее направление. Это значит, что ускорение также будет меняться. Наша задача - получить законы, по которым будут меняться проекция скорости и проекция ускорения со временем.

Координата со временем меняется по гармоническому закону, по закону синуса или косинуса. Логично предположить, что скорость и ускорение также будут меняться по гармоническому закону.

Закон изменения координаты:

Закон, по которому будет меняться проекция скорости со временем:

Данный закон также является гармоническим, но если координата меняется со временем по закону синуса, то проекция скорости - по закону косинуса. Координата в положении равновесия равна нулю, скорость же в положении равновесия максимальная. И наоборот, там, где координата максимальная, скорость равна нулю.

Закон, по которому будет меняться проекция ускорения со временем:

Знак минус появляется, поскольку при приращении координаты возвращающая сила направлена в противоположную сторону. По второму закону Ньютона, ускорение направлено туда же, куда и результирующая сила. Итак, если координата растет, ускорение растет по модулю, но противоположно по направлению, и наоборот, о чем и говорит знак минус в уравнении.

Список литературы

1. Кикоин А.К. О законе колебательного движения // Квант. - 1983. - № 9. - С. 30-31.
2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: учеб. для 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.
3. Черноуцан А.И. Гармонические колебания - обычные и удивительные // Квант. - 1991. - № 9. - С. 36-38.
4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. - 2-е издание, передел. - X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. - 464 с.

1. Интернет-портал «youtube.com» ()
2. Интернет-портал «eduspb.com» ()
3. Интернет-портал «physics.ru» ()
4. Интернет-портал «its-physics.org» ()

Домашнее задание

1. Что такое свободные колебания? Приведите несколько примеров таких колебаний.
2. Вычислите частоту свободных колебаний маятника, если длина его нити 2 м. Определите, сколько времени будут длиться 5 колебаний такого маятника.
3. Чему равен период свободных колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины 50 Н/м, а масса груза 100 г?

Лабораторная работа №3

«Определение коэффицента упругости пружины с помощью пружинного маятника»

УДК 531.13(07)

Рассматриваются законы колебательного движения на примере пружинного маятника. Даны методические указания к выполнению лабораторной работы по определению коэффициента жёсткости пружины динамическим методами. Дан разбор типовых задач по теме «Гармонические колебания. Сложение гармонических колебаний.

Теоретическое введение

Колебательное движение является одним из наиболее распространённых движений в природе. С ним связаны звуковые явления, переменный ток, электромагнитные волны. Колебания совершают отдельные части самых разнообразных машин и приборов, атомы и молекулы в твёрдых телах, жидкостях и газах, сердечные мышцы у человека и животных и т. п.

Колебанием называют физический процесс, характеризующийся повторяемостью во времени физических величин, связанных с этим процессом. Движение маятника или качелей, сокращения сердечной мышцы, переменный ток - всё это примеры систем, совершающих колебания.

Колебания считают периодическими, если значения физических величин повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом Т. Число полных колебаний, совершаемых системой за единицу времени, называют частотой ν. Очевидно, что Т = 1/ν. Частота измеряется в герцах (Гц). При частоте 1 герц система совершает 1 колебание в секунду.

Простейшим видом колебательного движения являются свободные гармонические колебания. Свободными , или собственными называются колебания, происходящие в системе после того, как она была выведена из положения равновесия внешними силами, которые в дальнейшем участия в движении системы не принимают. Наличие периодически меняющихся внешних сил вызывает в системе вынужденные колебания .

Гармоническими называют свободные колебания, происходящие под действием упругой силы при отсутствии трения. Согласно закону Гука, при малых деформациях сила упругости прямо пропорциональна смещению тела х от положения равновесия и направлена к положению равновесия: F упр. = - κх, где κ - коэффициент упругости, измеряемый в Н/м, а x - смещение тела из положения равновесия.

Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные по виду зависимости от смещения, называют квазиупругими (лат. quasi - якобы). Такие силы также вызывают гармонические колебания. Например, квазиупругие силы действуют на электроны в колебательном контуре, вызывая гармонические электромагнитные колебания. Примером квазиупругой силы может также служить составляющая силы тяжести математического маятника при малых углах отклонения его от вертикали.

Уравнение гармонических колебаний . Пусть тело массой m прикреплено к концу пружины, масса которой мала по сравнению с массой тела. Колеблющееся тело называют осциллятором (лат. oscillum- колебание). Пусть осциллятор может свободно и без трения скользить вдоль горизонтальной направляющей, по которой направим ось координат ОХ (рис. 1). Начало координат поместим в точке, соответствующей равновесному положению тела (рис. 1, а). Приложим к телу горизонтальную силу F и сместим его из положения равновесия вправо в точку с координатой х . Растяжение пружины внешней силой вызывает появление в ней силу упругости F ynp. , направленной к положению равновесия (рис. 1, б). Если теперь убрать внешнюю силу F , то под действием силы упругости тело приобретает ускорение а , движется к положению равновесия, а сила упругости уменьшается, становясь равной нулю в положении равновесия. Достигнув положения равновесия, тело, однако, в нем не останавливается и движется влево за счёт своей кинетической энергии. Пружина вновь сжимается, возникает сила упругости, направленная вправо. Когда кинетическая энергия тела перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, груз остановится, затем начнет двигаться вправо, и процесс повторяется.

Таким образом, если при непериодическом движении каждую точку траектории тело проходит только один раз, двигаясь в одном направлении, то при колебательном движении за одно полное колебание в каждой точке траектории, кроме самых крайних, тело бывает дважды: один раз двигаясь в прямом направлении, другой раз -в обратном.

Напишем второй закон Ньютона для осциллятора: ma = F ynp. , где

F упр = –κx (1)

Знак «–» в формуле указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления, иными словами, сила, действующая на прикрепленный к пружине груз, пропорциональна смещению его из положения равновесия и направлена всегда к положению равновесия. Коэффициент пропорциональности «κ» носит название коэффициента упругости. Численно он равен силе, вызывающей деформацию пружины, при которой её длина изменяется на единицу. Иногда его называют коэффициентом жёсткости .

Так как ускорение есть вторая производная от смещения тела, то это уравнение можно переписать в виде

, или
(2)

Уравнение (2) может быть записано в виде:

, (3)

где обе части уравнения разделены на массу m и введено обозначение:

(4)

Легко проверить подстановкой, что этому уравнению удовлетворяет решение:

х = А 0 cos (ω 0 t + φ 0) , (5)

где А 0 - амплитуда или максимальное смещение груза от положения равновесия, ω 0 - угловая или циклическая частота, которая может быть выражена через период Т собственных колебаний формулой
(см. ниже).

Величину φ = φ 0 + ω 0 t (6), стоящую под знаком косинуса и измеряемую в радианах, называют фазой колебания в момент времени t , а φ 0 - начальная фаза. Фаза представляет собой число, определяющее величину и направление смещения колеблющейся точки в данный момент времени. Из (6) видно, что

. (7)

Таким образом, величина ω 0 определяет быстроту изменения фазы и называется циклической частотой . С обычной чистотой её связывает формула

Если фаза изменяется на 2π радиан, то, как известно из тригонометрии, косинус принимает исходное значение, а следовательно, исходное значение принимает и смещение х . Но гак как время при этом изменяется на один период, то получается, что

ω 0 (t + T ) + φ 0 = (ω 0 t + φ 0) + 2π

Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, получим ω 0 T = 2π или
. Но так как из (4)
, то получим:
. (9)

Таким образом, период колебания тела , подвешенного на пружине, как это следует из формулы (8), не зависит от амплитуды колебаний, но зависит от массы тела и от коэффициента упругости (или жесткости) пружины.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
,

Собственная круговая частота колебаний, определяемая природой и параметрами колеблющейся системы:

–
-для материальной точки массой m , колеблющейся под действием квазиупругой силы, характеризующейся коэффициентом упругости (жёсткости) k ;

–
-для математического маятника, имеющего длину l ;

–
-для электромагнитных колебаний в контуре с емкостью С и индуктивностью L .

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ

Эти формулы верны при малых отклонениях от положения равновесия.

Скорость при гармоническом колебании:

.

Ускорение при гармоническом колебании:

Полная энергия гармонического колебания:

.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Задание 1

Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза

1. Подвесьте к одной из пружин груз и выведите маятник из положения равновесия примерно на 1 - 2 см.

2. Предоставив грузу свободно колебаться, измерьте секундомером промежуток времени t , в течение которого маятник совершит n (n = 15 - 25) полных колебаний
. Найдите период колебания маятника, разделив измеренный вами промежуток времени на число колебаний. Для большей точности проведите измерения не менее 3 раз и вычислите среднее значение периода колебания.

Примечание : Следите за тем, чтобы боковые колебания груза отсутствовали, т. е. чтобы колебания маятника были строго вертикальными.

3. Повторите измерения с другими грузами. Результаты измерений запишите в таблицу.

4. Постройте зависимость периода колебаний маятника от массы груза. График будет более простым (прямая линия), если на горизонтальной оси откладывать значения маcсы грузов, а на вертикальной оси - значения квадрата периода.

Задание 2

Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом

1. Подвесьте к одной из пружин груз массой 100 г., выведите его из положения равновесия на 1 - 2 см и, измерив время 15 - 20 полных колебаний, определите период колебания маятника с выбранным грузом по формуле
. Из формулы
вычислите коэффициент упругости пружины.

2. Проделайте аналогичные измерения с грузами от 150 г до 800 г (в зависимости от оборудования), определите для каждого случая коэффициент упругости и подсчитайте среднее значение коэффициента упругости пружины. Результаты измерений запишите в таблицу.

Задание 3 . По результатам лабораторной работы (задания 1 - 3):

– найдите значение циклической частоты маятника ω 0 .

– ответьте на вопрос: зависит ли амплитуда колебаний маятника от массы груза.

Возьмите на графике, полученном при выполнении задания 1 , произвольную точку и проведите из неё перпендикуляры до пересечения с осями Om и OT 2 . Определите для этой точки значения m и T 2 и по формуле
вычислите величину коэффициента упругости пружины.

Приложение

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ПО СЛОЖЕНИЮ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами А 1 и А 2 , происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где φ 0, 1 , φ 0, 2 - начальные фазы.

Начальная фаза φ 0 результирующего колебания может быть найдена по формуле

tg
.

Биения , возникающие при сложении двух колебаний x 1 =A cos2πν 1 t , происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν 1 и ν 2 , описываются формулой

x = x 1 + x 2 + 2A cosπ (ν 1 – ν 2)t cosπ(ν 1 +ν 2)t .

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты с амплитудами А 1 и А 2 и начальными фазами φ 0, 1 и φ 0, 2:

Если начальные фазы φ 0, 1 и φ 0, 2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид
. Если же начальные фазы отличаются на π, то уравнение траектории имеет вид
. Это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат, иными словами, в этих случаях точка движется по прямой. В остальных случаях движение происходит по эллипсу. При разности фаз
оси этого эллипса расположены по осямО X и О Y и уравнение траектории принимает вид
. Такие колебания называются эллиптическими. При A 1 =A 2 =A x 2 +y 2 =A 2 . Это уравнение окружности, и колебания называются круговыми. При других значениях частот и разностей фаз траектории колеблющейся точки образует причудливой формы кривые, называемые фигурами Лиссажу .

РАЗБОР НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ПО УКАЗАННОЙ ТЕМЕ

Задача 1. Из графика колебаний материальной точки следует, что модуль скорости в момент времени t = 1/3 с равен...

Период гармонического колебания, изображенного на рисунке, равен 2 секундам. Амплитуда этого колебания 18 см. Поэтому зависимость x (t ) можно записать в виде x(t) = 18sinπ t . Скорость равна производной функции х (t ) по времени v (t ) = 18π cosπ t . Подставив t = (1/3) с, получим v (1/3) = 9π (см/с).

Правильным является ответ: 9 π см/с.

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами A 0 . При разности
амплитуда результирующего колебания равна...

Решение существенно упрощается, если использовать векторный метод определения амплитуды и фазы результирующего колебания. Для этого одно из складываемых колебаний представим в виде горизонтального вектора с амплитудой А 1 . Из конца этого вектора построим второй вектор с амплитудой А 2 так, чтобы он образовал угол
с первым вектором. Тогда длина вектора, проведенного из начала первого вектора в конец последнего, будет равна амплитуде результирующего колебания, а угол, образуемый результирующим вектором с первым вектором, будет определять разность их фаз. Векторная диаграмма, соответствующая условию задания, приведена на рисунке. Отсюда сразу видно, что амплитуда результирующего колебания в
раз больше амплитуды каждого из складываемых колебаний.

Правильным является ответ:
.

ТочкаМ одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид:

При заданной в условии разности фаз уравнением траектории является уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (см. теоретические сведения).

Правильным является ответ: 1.

Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A 1 =10 см и А 2 =6 см складываются в одно колебание с амплитудой А рез =14 см. Разность фаз
складываемых колебаний равна...

В этом случае удобно воспользоваться формулой . Подставив в нее данные из условия задания, получим:
.

Этому значению косинуса соответствует
.

Правильным является ответ: .

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются гармоническими? 2. Какой вид имеет график незатухающих гармонических колебаний? 3. Какими величинами характеризуется гармонический колебательный процесс? 4. Приведите примеры колебательных движений из биологии и ветеринарии. 5. Напишите уравнение гармонических колебаний. 6. Как получить выражение для периода колебательного движения пружинного маятника?

ЛИТЕРАТУРА

Грабовский Р. И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2008, ч. I, § 27-30.

Основы физики и биофизики. Журавлёв А. И. , Белановский А. С., Новиков В. Э., Олешкевич А. А. и др. - М., Мир, 2008, гл. 2.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов. - М.: МГАВМиБ, 2008. - гл. 18.

Трофимова Т. И. Физика в таблицах и формулах: Учеб. пособие для студентов вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004. - 432 с.

1.Определение колебательного движения

Колебательное движение - это движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени. Учение о колебательном движении в физике выделяют особо. Это обусловлено общностью закономерностей колебательного движения различной природы и методов его исследования. Механические, акустические, электромагнитные колебания и волны рассматриваются с единой точки зрения. Колебательное движение свойственно всем явлениям природы. Внутри любого живого организма непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы, например биение сердца.

Механические колебания Колебания - это любой физический процесс, характери­зующийся повторяемостью во времени.

Волнение моря, качание маятника часов, вибрации корпуса корабля, биение человеческого сердца, звук, радиоволны, свет, переменные токи - все это коле­бания.

В процессе колебаний значения физических величин, опреде­ляющих состояние системы, через равные или неравные проме­жутки времени повторяются. Колебания называются периодическими , если значения изме­няющихся физических величин повторяются через равные проме­жутки времени.

Наименьший промежуток времени Т, черезкото­рый значение изменяющейся физической величины повторяется (по величине и направлению, если эта величина векторная, по величине и знаку, если она скалярная), называетсяпериодом колебаний.

Число полных колебаний n , совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний этой величины и обозначается через ν . Период и частота колебаний связаны соотноше­нием:

Любое колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие виды периодических колебаний: свободные, вынужденные, автоколебания, параметри­ческие.

Свободные колебания - это колебания, происходящие в систе­ме, предоставленной самой себе, после выведения ее из состояния устойчивого равновесия (например, колебания груза на пружине).

Вынужденные колебания - это колебания, обусловленные внешним периодическим воздействием (например, электромагнит­ные колебания в антенне телевизора).

Механические колебания

Автоколебания - свободные колебания, поддерживаемые внеш­ним источником энергии, включение которого в нужные моменты времени осуществляет сама колеблющаяся система (например, колебания маятника часов).

Параметрические колебания - это колебания, в процессе которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы (например, раскачивание качелей: приседая в крайних положениях и выпрямляясь в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции качелей).

Различные по своей природе колебания обнаруживают много общего: они подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это дает возможность создать единую теорию колебаний.

Простейшими из периодических колебаний

являются гармонические колебания.

Гармонические колебания- это колебания, в процессе совершения которых значения физических величин изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса. Большинство колебательных процессов описываются этим законом или может быть приставлено в виде суммы гармонических колебаний.

Возможно и другое «динамическое» определение гармонических колебании как процесса, совершаемого под действием упругой или «квазиупругой»

2. Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.

Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное

х - колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи, состояние и начинается повторение процесса. Процесс, происходящий за один период колебаний, называется «одно полное колебание».

периодических колебаний называется число полных колебаний за единицу времени (1 секунду) - это может быть не целое число.

Т - период колебаний Период - время одного полного колебания.

Чтобы вычислить частоту v, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах) и получится число колебаний за 1 секунду или координата точки) t - время

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, каксила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике.

Колеблются крылья насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук – это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет – тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой.

Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса – периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д.

Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета... Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же уравнениями.

Свободными колебаниями называются колебания, происходящие благодаря начальному запасу энергии, приданному колеблющемуся телу.

Чтобы тело совершало свободные колебания, необходимо вывести его из состояния равновесия.

НАДО ЗНАТЬ

Специальный раздел физики – теория колебаний – занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судо- и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). (Полагают, что соотношение между длиной маятника и временем каждого качания открыл Галлилей. Однажды в церкви он наблюдал, как качалась огромная люстра, и засекал время по своему пульсу. Позже он открыл, что время, за которое происходит один взмах, зависит от длины маятника - время наполовину уменьшается, если укоротить маятник на три четверти.).
Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника.

Большой вклад в изучение колебаний внесли многие ученые: английские – У. Томсон (лорд Кельвин) и Дж. Рэлей, русские – А.С. Попов и П.Н. Лебедев и другие

Красным цветом изображается вектор силы тяжести, синим - силы реакции, желтым - силы сопротивления, бордовым - равнодействующей силы. Для остановки маятника нажать кнопку "Стоп" в окне "Управление" или щелкнуть кнопкой мыши внутри главного окна программы. Для продолжения движения действия повторить.

Дальнейшие колебания нитяного маятника, выведенного из состояния равновесия, происходят
под действием результирующей силы, которая является суммой двух векторов: силы тяжести
и силы упругости.
Результирующая сила в данном случае называется возвращающей силой.

МАЯТНИК ФУКО В ПАРИЖСКОМ ПАНТЕОНЕ

Что доказал Жан Фуко?

Маятник Фуко служит для демонстрации вращения Земли вокруг своей оси. На длинном тросе подвешен тяжелый шар. Он качается взад-вперед над круглой площадкой с делениями.
Через какое-то время зрителям начинает казаться, что маятник качается уже над другими делениями. Кажется, что маятник повернулся, но это не так. Это повернулся вместе с Землей сам круг!

Для всех факт вращения Земли очевиден хотя бы потому, что день сменяет ночь, то есть за 24 часа совершается один полный оборот планеты вокруг своей оси. Вращение Земли можно доказать многими физическими опытами. Самым знаменитым из них был опыт, проведенный Жаном Бернаром Леоном Фуко в 1851 году в парижском Пантеоне в присутствии императора Наполеона. Под куполом здания физик подвесил металлический шар массой 28 кг на стальной проволоке длиной 67 м. Отличительной особенностью этого маятника было то, что он мог свободно качаться во всех направлениях. Под ним было сделано ограждение с радиусом 6 м, внутри которого насыпали песок, чьей поверхности касалось острие маятника. После того как маятник привели в движение, стало очевидно, что плоскость качания поворачивается относительно пола по часовой стрелке. Это следовало из того, что при каждом следующем качании острие маятника делало отметку на 3 мм дальше предыдущего. Это отклонение и объясняет то, что Земля совершает вращение вокруг своей оси.

В 1887 году принцип действия маятника был продемонстрирован и в и, в Исаакиевском соборе Петербурга. Хотя сегодня увидеть его нельзя, так как теперь он хранится в фонде музея-памятника. Сделано это было для того, чтобы восстановить первоначальную внутреннюю архитектуру собора.

СДЕЛАЙ МОДЕЛЬ МАЯТНИКА ФУКО САМ

Переверни табуретку вверх ножками и положи на концы её ножек (по диагонали) какую-нибудь рейку. А к середине её подвесь небольшой груз (например, гайку)ни нити. Заставь его качаться так, чтобы плоскость качания проходила между ножек табуретки. Теперь медленно поворачивай табуретку вокруг её вертикальной оси. Тебе станет заметно, что маятник качается уже в другом направлении. На самом деле он качается всё также, а изменение произошло из-за поворота самой табуретки, которая в этом опыте играет роль Земли.

КРУТИЛЬНЫЙ МАЯТНИК

Это маятник Максвелла, он позволяет выявить ряд интересных закономерностей движения твердого тела. К диску, насаженному на ось, привязаны нити. Если закрутить нить вокруг оси, диск поднимется. Теперь отпускаем маятник, и он начинает совершать периодическое движение: диск опускается, нить раскручивается. Дойдя до нижней точки, по инерции диск продолжает вращаться, но теперь уже закручивает нить и поднимается вверх.

Обычно крутильный маятник применяется в механических наручных часах. Колесико-балансир под действием пружины вращается то в одну, то в другую сторону. Его равномерные движения обеспечивают точность хода часов.

СДЕЛАЙ КРУТИЛЬНЫЙ МАЯТНИК САМ

Вырежьте из плотного картона небольшой круг диаметром 6 – 8 см. На одной стороне кружка нарисуйте открытую тетрадь, а на другой стороне – цифру «5». С двух сторон круга проделайте иголкой 4 отверстия и вставьте 2 прочные нити. Закрепите их, чтобы они не выскакивали, узелками. Далее стоит лишь закрутить круг на 20 – 30 оборотов и натянуть нити в стороны. В результате вращения вы увидите картинку « 5 в моей тетрадке».
Приятно?

Ртутное сердце

Небольшая капля – лужица ртути, поверхности которой в её центре касается железная проволока – игла, залита слабым водяным раствором соляной кислоты, в котором растворена соль двухромовокислого калия.. ртуть в растворе соляной кислоты получает электрический заряд и поверхностное натяжение на границе cоприкасающихся поверхностей понижается. При соприкосновении иглы с поверхностью ртути заряд уменьшается и, следовательно, меняется поверхностное натяжение. При этом капля обретает более сферическую форму. Макушка капли наползает на иглу, а затем под действием силы тяжести соскакивает с неё. Внешне явление производит впечатление вздрагивания ртути. Этот первый импульс дает толчок колебаниям, капля раскачивается и «сердце» начинает пульсировать. Ртутное «сердце» - не вечный двигатель! Со временем длина иглы уменьшается, и её вновь приходится устанавливать в соприкосновение с поверхностью ртути.

С одним из видов неравномерного движения - равноускоренным - вы уже знакомы.

Рассмотрим ещё один вид неравномерного движения - колебательное.

Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, качелей, маятника часов, вагона на рессорах и многих других тел.

На рисунке 52 изображены тела, которые могут совершать колебательные движения, если их вывести из положения равновесия (т. е. отклонить или сместить от линии ОО").

Рис. 52. Примеры тел, совершающих колебательные движения

В движении этих тел можно найти много различий. Например, шарик на нити (рис. 52, а) движется криволинейно, а цилиндр на резиновом шнуре (рис. 52, б) - прямолинейно; верхний конец линейки (рис. 52, в) колеблется с большим размахом, чем средняя точка струны (рис. 52, г). За одно и то же время одни тела могут совершать большее число колебаний, чем другие.

Но при всём разнообразии этих движений у них есть важная общая черта: через определённый промежуток времени движение любого тела повторяется.

Действительно, если шарик отвести от положения равновесия и отпустить, то он, пройдя через положение равновесия, отклонится в противоположную сторону, остановится, а затем вернётся к месту начала движения. За этим колебанием последует второе, третье и т. д., похожие на первое.

Повторяющимися будут и движения остальных тел, изображённых на рисунке 52.

Промежуток времени, через который движение повторяется, называется периодом колебаний. Поэтому говорят, что колебательное движение периодично.

В движении тел, изображённых на рисунке 52, кроме периодичности есть ещё одна общая черта: за промежуток времени, равный периоду колебаний, любое тело дважды проходит через положение равновесия (двигаясь в противоположных направлениях).

• Повторяющиеся через равные промежутки времени движения, при которых тело многократно и в разных направлениях проходит положение равновесия, называются механическими колебаниями

Именно такие колебания и будут предметом нашего изучения.

На рисунке 53 изображён шарик с отверстием, надетый на гладкую стальную струну и прикреплённый к пружине (другой конец которой прикреплён к вертикальной стойке). Шарик может свободно скользить по струне, т. е. силы трения настолько малы, что не оказывают существенного влияния на его движение. Когда шарик находится в точке О (рис. 53, а), пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на него не действуют. Точка О - положение равновесия шарика.

Рис. 53. Динамика свободных колебаний горизонтального пружинного маятника

Переместим шарик в точку В (рис. 53, б). Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости F упрB . Эта сила пропорциональна смещению (т. е. отклонению шарика от положения равновесия) и направлена противоположно ему. Значит, при смещении шарика вправо действующая на него сила направлена влево, к положению равновесия.

Если отпустить шарик, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке О. Направление силы упругости и вызванного ею ускорения будет совпадать с направлением скорости шарика, поэтому по мере приближения шарика к точке О его скорость будет всё время возрастать. При этом сила упругости с уменьшением деформации пружины будет уменьшаться (рис. 53, в).

Напомним, что любое тело обладает свойством сохранять свою скорость, если на него не действуют силы или если равнодействующая сил равна нулю. Поэтому, дойдя до положения равновесия (рис. 53, г), где сила упругости станет равна нулю, шарик не остановится, а будет продолжать двигаться влево.

При его движении от точки О к точке А пружина будет сжиматься. В ней снова возникнет сила упругости, которая и в этом случае будет направлена к положению равновесия (рис. 53, д, е). Поскольку сила упругости направлена против скорости движения шарика, то она тормозит его движение. В результате в точке А шарик остановится. Сила упругости, направленная к точке О, будет продолжать действовать, поэтому шарик вновь придёт в движение и на участке АО его скорость будет возрастать (рис. 53, е, ж, з).

Движение шарика от точки О к точке В снова приведёт к растяжению пружины, вследствие чего опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение шарика до полной его остановки (рис. 53, з, и, к). Таким образом, шарик совершит одно полное колебание. При этом в каждой точке его траектории (кроме точки О) на него будет действовать сила упругости пружины, направленная к положению равновесия.

Под действием силы, возвращающей тело в положение равновесия, тело может совершать колебания как бы само по себе. Первоначально эта сила возникла благодаря тому, что мы совершили работу по растяжению пружины, сообщив ей некоторый запас энергии. За счёт этой энергии и происходили колебания.

• Колебания, происходящие только благодаря начальному запасу энергии, называются свободными колебаниями

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая получила название колебательной системы. В рассмотренном примере в колебательную систему входят шарик, пружина и вертикальная стойка, к которой прикреплён левый конец пружины. В результате взаимодействия этих тел и возникает сила, возвращающая шарик к положению равновесия.

На рисунке 54 изображена колебательная система, состоящая из шарика, нити, штатива и Земли (Земля на рисунке не показана). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити. Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Рис. 54. Нитяной маятник

• Системы тел, которые способны совершать свободные колебания, называются колебательными системами

Одно из основных общих свойств всех колебательных систем заключается в возникновении в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия.

Колебательные системы - довольно широкое понятие, применимое к разнообразным явлениям.

Рассмотренные колебательные системы называются маятниками. Существует несколько типов маятников: нитяные (см. рис. 54), пружинные (см. рис. 53, 55) и т. д.

Рис. 55. Пружинный маятник

В общем случае

• маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси

Колебательное движение будем изучать на примере пружинного и нитяного маятников.

Вопросы

1. Приведите примеры колебательных движений.
2. Как вы понимаете утверждение о том, что колебательное движение периодично?
3. Что называется механическими колебаниями?
4. Пользуясь рисунком 53, объясните, почему по мере приближения шарика к точке О с любой стороны его скорость увеличивается, а по мере удаления от точки О в любую сторону скорость шарика уменьшается.
5. Почему шарик не останавливается, дойдя до положения равновесия?
6. Какие колебания называются свободными?
7. Какие системы называются колебательными? Приведите примеры.

Упражнение 23