Признаки сходимости числовых рядов. Знакопеременные ряды
Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом .
При
этом числа
будем называть членами ряда, аu
n
– общим членом ряда.
Определение.
Суммы
,n
= 1, 2, …
называются частными
(частичными) суммами
ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …
Определение.
Ряд
называетсясходящимся
,
если сходится последовательность его
частных сумм. Сумма
сходящегося ряда
– предел последовательности его частных
сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2)
Рассмотрим два ряда
и
,
где С – постоянное число.
Теорема.
Если ряд
сходится
и его сумма равна
S
,
то ряд
тоже
сходится, и его сумма равна С
S
.
(C
0)
3)
Рассмотрим два ряда
и
.Суммой
или разностью
этих рядов будет называться ряд
,
где элементы получены в результате
сложения (вычитания) исходных элементов
с одинаковыми номерами.
Теорема.
Если ряды
и
сходятся
и их суммы равны соответственно
S
и
,
то ряд
тоже сходится и его сумма равна
S
+
.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для
того, чтобы последовательность
была
сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал такой номер
N
,
что при
n
>
N
и любом
p
> 0, где р – целое число, выполнялось
бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть
,
тогда для любого числа
найдется
номер N
такой, что неравенство
выполняется
при n>N.
При n>N
и любом целом p>0
выполняется также неравенство
.
Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для
того, чтобы ряд
был
сходящимся необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал номер
N
такой, что при
n
>
N
и любом
p
>0
выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1)
Если ряд
сходится,
то необходимо, чтобы общий член u
n
стремился к нулю. Однако, это условие
не является достаточным. Можно говорить
только о том, что если общий член не
стремится к нулю, то ряд точно расходится.
Например, так называемый гармонический
ряд
является расходящимся, хотя его общий
член и стремится к нулю.
Пример.
Исследовать сходимость ряда
Найдем
- необходимый признак сходимости не
выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако,
при этом последовательность частных
сумм ограничена, т.к.
при любомn
.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема.
Для сходимости
ряда
с
неотрицательными членами необходимо
и достаточно, чтобы частные суммы ряда
были ограничены
.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда
и
приu
n
,
v
n
0
.
Теорема.
Если u
n
v
n
при любом n
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Доказательство.
Обозначим через S
n
и
n
частные суммы рядов
и
.
Т.к. по условию теоремы ряд
сходится,
то его частные суммы ограничены, т.е.
при всехn
n
M,
где М – некоторое число. Но т.к. u
n
v
n
,
то S
n
n
то частные суммы ряда
тоже
ограничены, а этого достаточно для
сходимости.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
,
а гармонический ряд
расходится, то расходится и ряд
.
Пример.
Т.к.
,
а ряд
сходится (как убывающая геометрическая
прогрессия), то ряд
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если
и существует предел
,
где
h
– число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут
одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера.
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если
для ряда
с положительными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
сходится, если же для всех достаточно
больших
n
выполняется условие
то
ряд
расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если
существует предел
,
то при
< 1 ряд сходится, а при
> 1 – расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если
для ряда
с
неотрицательными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
,
то
ряд
сходится,
если же для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
расходится.
Следствие.
Если существует предел
,
то при<1
ряд сходится, а при >1
ряд расходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
,
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если
(х)
– непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Признак Лейбница.
Если
у знакочередующегося ряда
абсолютные величины
u
i
убывают
и общий член стремится к нулю
,
то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
По свойству абсолютных величин:
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение.
Ряд
называетсяабсолютно
сходящимся
,
если сходится ряд
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение.
Ряд
называетсяусловно
сходящимся
,
если он сходится, а ряд
расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
-
знакопеременный ряд.
Признак
Даламбера.
Если существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>
Признак
Коши.
Если
существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>1
ряд будет расходящимся. При =1
признак не дает ответа о сходимости
ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1)
Теорема.
Для абсолютной
сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы его можно было
представить в виде разности двух
сходящихся рядов с неотрицательными
членами
.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда .
5)
Если ряды
и
сходятся абсолютно и их суммы равны
соответственноS
и ,
то ряд, составленный из всех произведений
вида
взятых в каком угодно порядке, также
сходится абсолютно и его сумма равнаS
- произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
Функциональные последовательности.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х , то ряд называется функциональным .
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х , при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости .
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Последовательность {f n (x ) } сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство
выполняется при n>N.
При выбранном значении >0 каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность {f n (x ) } равномерно сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство
выполняется при n>N для всех точек отрезка .
Пример.
Рассмотрим последовательность
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f (x )=0 , т.к.
Построим графики этой последовательности:
sinx
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х .
Функциональные ряды.
Определение.
Частными
(частичными) суммами
функционального ряда
называются функции
Определение.
Функциональный ряд
называетсясходящимся
в точке (х=х
0
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм. Предел последовательности
называетсясуммой
ряда
в точкех
0
.
Определение.
Совокупность всех значений х
,
для которых сходится ряд
называетсяобластью
сходимости
ряда.
Определение.
Ряд
называетсяравномерно
сходящимся
на отрезке ,
если равномерно сходится на этом отрезке
последовательность частных сумм этого
ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для
равномерной сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы для любого числа
>0
существовал такой номер
N
(
),
что при
n
>
N
и любом целом
p
>0
неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд
сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке
[
a
,
b
],
если модули его членов на том же отрезке
не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными
членами:
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще
говорят, что в этом случае функциональный
ряд
мажорируется
числовым
рядом
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Так
как
всегда, то очевидно, что
.
При
этом известно, что общегармонический
ряд
при=3>1
сходится, то в соответствии с признаком
Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно
сходится и притом в любом интервале.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом
отрезке исследуемый ряд сходится, а на
интервалах (-,
-1)
(1, )
расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если
члены ряда
- непрерывные на отрезке [
a
,
b
]
функции и ряд сходится равномерно, то
и его сумма
S
(x
)
есть непрерывная функция на отрезке
[
a
,
b
].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [ a , b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ a , b ] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку .
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если
члены ряда
сходящегося на отрезке [
a
,
b
]
представляют собой непрерывные функции,
имеющие непрерывные производные, и ряд,
составленный из этих производных
сходится
на этом отрезке равномерно, то и данный
ряд сходится равномерно и его можно
дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х , можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем,
что этот ряд сходится при
и
расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При
х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см.
Признак
Лейбница.
).
При
х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).
Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема.
Если степенной
ряд
сходится при
x
=
x
1
, то он сходится и притом абсолютно для
всех
.
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из
этого неравенства видно, что при x
<
x
1
численные величины членов нашего ряда
будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой
части записанного выше неравенства,
которые образуют геометрическую
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии
по условию теоремы меньше единицы,
следовательно, эта прогрессия представляет
собой сходящийся ряд.
Поэтому
на основании признака сравнения делаем
вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.
Таким
образом, если степенной ряд
сходится
в точкех
1
,
то он абсолютно сходится в любой точке
интервала длины 2
с центром в точкех
= 0.
Следствие.
Если при х =
х
1
ряд расходится, то он расходится для
всех
.
Таким
образом, для каждого степенного ряда
существует такое положительное число
R,
что при всех х
таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд
расходится. При этом числоR
называется радиусом
сходимости
.
Интервал (-R,
R)
называется интервалом
сходимости
.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Пример.
Найти область сходимости ряда
Находим
радиус сходимости
.
Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.
Теорема.
Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х
1
, то он сходится равномерно в любом
промежутке внутри
.
Действия со степенными рядами.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:
$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.
Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:
$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$
Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$
Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$
Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.
В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$
Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$
Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:
$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$
Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$
Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.
Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:
$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$
И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть
У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.
Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$
У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:
$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.
Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$
"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:
$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$
Тогда выражение для частичной суммы примет вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть
$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Ответ : $S=\frac{1}{3}$.
Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.
Ряды для чайников. Примеры решений
Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.
1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)
Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.
Понятие числового ряда
В общем виде числовой ряд
можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда
(запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа
.
В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.
Cлагаемые 
– это ЧИСЛА
, которые называются членами
ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю)
, то такой ряд называют положительным числовым рядом
.
Пример 1
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:
Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности
,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда
сначала , потом и . В итоге:
Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать
, то есть не выполнять
действия: , , . Почему? Ответ в виде 
гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть
.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде
Сходимость числовых рядов
Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:
1) Ряд
расходится
. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует
, как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: 
. Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому 
и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: 
.
2) Ряд
сходится
. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу
: . Пожалуйста: 
– этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: 
. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной
дроби. В данном случае: , . Таким образом: 
Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.
Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.
Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.
! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .
Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:
Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится
Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)
Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.
Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:
Вывод
: ряд расходится
Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:
Пример 6
В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .
Делим числитель и знаменатель на 
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример 7
Исследовать ряд на сходимость
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока
Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.
Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.
Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!
Знакомьтесь:
Данный ряд называется гармоническим рядом
. Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)
Легко заметить, что 
, НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится
.
Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:
1) Данный ряд расходится
при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится
при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости
.
Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .
Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)
Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:
Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .
Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:
Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .
Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость
Во-первых, проверяем
(мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.
Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.
Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:
а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится
вместе с рядом .
Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно!
Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство 
выполнено для всех натуральных номеров «эн».
Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную
сумму : 
. И поскольку все члены ряда меньше
соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!
Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: 
, , 
и т.д.
! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :
Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .
Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .
Решение и образец оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов
Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .
Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.
Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится
вместе с рядом .
Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).
Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.
На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
ТЕОРЕМА 1
Если
ряд
сходится, то его общий член
стремится к нулю при
,
т.е.
.
Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Доказательство.
Пусть ряд сходится и его сумма равна
.
Для любого
частичная сумма
.
Тогда .
Из
доказанного необходимого признака
сходимости вытекает достаточный
признак расходимости ряда:
если при
общий член ряда не стремится к нулю, то
ряд расходится.
Пример
4.
Для
этого ряда общий член
и
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример
5.
Исследовать
на сходимость ряд
Очевидно,
что общий член этого ряда, вид которого
не указан ввиду громоздкости выражения,
стремится к нулю при
,
т.е. необходимый признак сходимости
ряда выполняется, однако этот ряд
расходится, так как его сумма
стремится к бесконечности.
Знакоположительные числовые ряды
Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.
ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)
Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.
Доказательство.
Так как для любого
,
то,
т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для
существования предела необходимо и
достаточно ограничение последовательности
сверху каким-либо числом.
Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)
Пусть даны два знакоположительных ряда:
(1)
(2)
причем,
начиная с некоторого номера
,
для любого
выполняется неравенство
Тогда:
Схематическая запись первого признака сравнения:
сход.сход.
расх.расх.
Доказательство.
1) Так как отбрасывание конечного числа
членов ряда не влияет на его сходимость,
докажем теорему для случая
.
Пусть для любого
имеем
, (3)
где
и
-
соответственно частичные суммы рядов
(1) и (2).
Если
ряд (2) сходится, то существует число
.
Поскольку
при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого
из ее членов, т.е.
для
любого
.
Отсюда
из неравенства (3) следует
.
Таким
образом, все частичные суммы ряда (1)
ограничены сверху числом
.
Согласно
теореме 2 этот ряд сходится.
2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1).
Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:
3)
-
ряд
Дирихле (он сходится при
и расходится при
).
Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:
,
,
,
.
Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.
Пример
6.
Исследовать
ряд
на сходимость.
Шаг
1. Проверим знакоположительность ряда:
для
Шаг
2. Проверим выполнение необходимого
признака сходимости ряда:
.
Так как
,
то
(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).
Шаг
3. Используем первый признак сравнения.
Для этого подберем для данного ряда
ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять ряд
,
т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так
как показатель степени
.
Следовательно, согласно первому признаку
сравнения сходится и исследуемый ряд.
Пример
7.
Исследовать ряд
на сходимость.
1)
Данный ряд знакоположительный, так как
для
2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо
3)
Подберем ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять
геометрический ряд
.
Этот ряд сходится, следовательно,
сходится и исследуемый ряд.
ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)
Если
для знакоположительных рядов
и
существует отличный от нуля конечный
предел
,
то
ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда
сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь
число
,
большее,
чем
.
Из
условия
вытекает
существование такого номера
,
что для всех
справедливо неравенство
,
или,
что то же,
(4)
Отбросив
в рядах (1) и (2) первые
членов (что не влияет на сходимость),
можно считать, что неравенство (4)
справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится
в силу сходимости ряда (2). Согласно
первому признаку сравнения, из неравенства
(4) следует сходимость ряда (1).
Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как
то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2).
Если
при
(необходимый признак сходимости), то из
условия
,
следует, что
и
– бесконечно малые одного порядка
малости (эквивалентные при
).
Следовательно, если дан ряд
,
где
при
,
то для этого ряда можно брать ряд-эталон
,
где общий член
имеет тот же порядок малости, что и общий
член данного ряда.
При
выборе ряда-эталона можно пользоваться
следующей таблицей эквивалентных
бесконечно малых при
:
1)
; 4)
;
2)
; 5)
;
3)
; 6)
.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
.
для любого
.
Так
как
,
то возьмем в качестве ряда-эталона
гармонический расходящийся ряд
.
Поскольку предел отношения общих членов
и
конечен и отличен от нуля (он равен 1),
то на основании второго признака
сравнения данный ряд расходится.
Пример
9.
по двум признакам сравнения.
Данный
ряд знакоположительный, так как
,
и
.
Поскольку
,
то в качестве ряда-эталона можно брать
гармонический ряд
.
Этот ряд расходится и следовательно,
по первому признаку сравнения, исследуемый
ряд также расходится.
Так
как для данного ряда и ряда-эталона
выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный
предел), то на основании второго признака
сравнения ряд
– расходится.
ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)
существует конечный предел
,
то ряд сходится при
и расходится при
.
Доказательство.
Пусть
.
Возьмем какое-либо число
,
заключенное
между
и
1:
.
Из условия
следует,
что начиная с некоторого номера
выполняется
неравенство
;
;
(5)
Рассмотрим ряд
Согласно
(5) все члены ряда (6) не превосходят
соответствующих членов бесконечной
геометрической прогрессии
Поскольку
,
эта прогрессия является сходящейся.
Отсюда в силу первого признака сравнения
вытекает сходимость ряда
Случай
рассмотрите самостоятельно.
Замечания :
следует,
что остаток ряда
.
Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
Пример
10.
Исследовать на сходимость ряд
по признаку Даламбера.
Данный ряд знакоположительный и
.
(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).
то по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример
11.
.
Данный
ряд знакоположительный и
.
Поскольку
то данный ряд сходится.
ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)
Если
для знакоположительного ряда
существует
конечный предел
,
то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.
Доказательство аналогично теореме 5.
Замечания :
Пример
12.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Данный
ряд знакоположительный, так как
для любого
.
Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то
проверку выполнимости необходимого
признака сходимости ряда опускаем.
то по признаку Коши данный ряд расходится.
ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)
Пусть дан ряд
члены которого положительны и не возрастают:
Пусть,
далее
-
функция, которая определена для всех
вещественных
,
непрерывна, не возрастает и