Расчет длины отрезка по координатам. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант
Пример 3
Решение:
по соответствующей формуле:
Ответ:
Для наглядности выполню чертёж
Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Обратите внимание на важный технический приём
– вынесение множителя из-под корня
. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи:
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом:
. У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки и . Найти длину отрезка .
Решение и ответ в конце урока.
Если вы хорошо заточенным карандашом прикоснетесь к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (рис. 3 ).
Отметим на листе бумаги две точки A и B. Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4 ). А как соединить точки A и B самой короткой линией? Это можно сделать с помощь линейки (рис. 5 ). Полученную линию называют отрезком .
Точка и отрезок − примеры геометрических фигур .
Точки A и B называют концами отрезка .
Существует единственный отрезок, концами которого являются точки A и B. Поэтому отрезок обозначают, записывая точки, которые являются его концами. Например, отрезок на рисунке 5 обозначают одним из двух способов: AB или BA. Читают: "отрезок AB" или "отрезок BA".
На рисунке 6 изображены три отрезка. Длина отрезка AB равна 1 см. Он помещается в отрезке MN ровно три раза, а в отрезке EF − ровно 4 раза. Будем говорить, что длина отрезка MN равна 3 см, а длина отрезка EF − 4 см.
Также принято говорить: "отрезок MN равен 3 см", "отрезок EF равен 4 см". Пишут: MN = 3 см, EF = 4 см.
Длины отрезков MN и EF мы измерили единичным отрезком , длина которого равна 1 см. Для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы длины , например: 1 мм, 1 дм, 1 км. На рисунке 7 длина отрезка равна 17 мм. Он измерен единичным отрезком, длина которого равна 1 мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7 ).
Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается .
Длина отрезка обладает следующим свойством.
Если на отрезке AB отметить точку C, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB (рис. 8 ).
Пишут: AB = AC + CB.
На рисунке 9 изображены два отрезка AB и CD. Эти отрезки при наложении совпадут.
Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении.
Следовательно отрезки AB и CD равны. Пишут: AB = CD.
Равные отрезки имеют равные длины.
Из двух неравных отрезков бОльшим будем считать тот, у уоторого длина больше. Например, на рисунке 6 отрезок EF больше отрезка MN.
Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 10, то получится геометрическая фигура, которую называют ломаная . Заметим, что все отрезки на рисунке 11 ломаную не образуют. Считают, что отрезки, образуют ломаную, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка − с концом третьего и т. д.
Точки A, B, C, D, E − вершины ломаной ABCDE, точки A и E − концы ломаной , а отрезки AB, BC, CD, DE − ее звенья (см. рис. 10 ).
Длиной ломаной называют сумму длин всех ее звеньев.
На рисунке 12 изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми .
Пример 1 . Отрезок BC на 3 см меньше отрезка AB, длина которого равна 8 см (рис. 13 ). Найдите длину отрезка AC.
Решение. Имеем: BC = 8 − 3 = 5 (см).
Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC. Отсюда AC = 8 + 5 = 13 (см).
Ответ: 13 см.
Пример 2 . Известно, что MK = 24 см, NP = 32 см, MP = 50 см (рис. 14 ). Найдите длину отрезка NK.
Решение. Имеем: MN = MP − NP.
Отсюда MN = 50 − 32 = 18 (см).
Имеем: NK = MK − MN.
Отсюда NK = 24 − 18 = 6 (см).
Ответ: 6 см.
В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Понятие середины отрезка.
Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины.
Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В , приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А ) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок В А). Точки А и В называются концами отрезка . Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок.
Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА ). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ , заключенную между точками А и В . Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А , В и множества всех точек прямой АВ , находящихся между точками А и В . Если взять произвольную точку М прямой АВ , находящуюся между точками А и В , то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ .
Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как .
Определение.
Точка С называется серединой отрезка АВ , если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов.
То есть, если точка С является серединой отрезка АВ , то она лежит на нем и .
Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ , если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат .
Координата середины отрезка на координатной прямой.
Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа и . Пусть точка С – середина отрезка АВ . Найдем координату точки С .
![](https://i2.wp.com/cleverstudents.ru/vectors/images/midpoint/pict001.png)
Так как точка С
– середина отрезка АВ
, то справедливо равенство . В разделе расстояние от точки до точки на координатной прямой мы показали, что расстояние между точками равно модулю разности их координат, следовательно, . Тогда или
. Из равенства
находим координату середины отрезка АВ
на координатной прямой:
- она равна полусумме координат концов отрезка. Из второго равенства
получаем , что невозможно, так как мы брали несовпадающие точки А
и В
.
Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами и имеет вид .
Координаты середины отрезка на плоскости.
Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки и и известно, что точка С – середина отрезка АВ . Найдем координаты и точки С .
![](https://i1.wp.com/cleverstudents.ru/vectors/images/midpoint/pict004.png)
По построению прямые параллельны, а также параллельны прямые
, поэтому, по теореме Фалеса
из равенства отрезков АС
и СВ
следует равенство отрезков и , а так же отрезков и . Следовательно, точка - середина отрезка , а - середина отрезка . Тогда в силу предыдущего пункта этой статьи
и
.
По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации.
![](https://i0.wp.com/cleverstudents.ru/vectors/images/midpoint/pict002.png)
![](https://i1.wp.com/cleverstudents.ru/vectors/images/midpoint/pict003.png)
Таким образом, середина отрезка АВ
на плоскости с концами в точках и имеет координаты
.
Координаты середины отрезка в пространстве.
Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz
и заданы две точки и
. Получим формулы для нахождения координат точки С
, которая является серединой отрезка АВ
.
Рассмотрим общий случай.
Пусть и - проекции точек А , В и С на координатные оси Оx , Оу и Oz соответственно.
![](https://i0.wp.com/cleverstudents.ru/vectors/images/midpoint/pict005.png)
По теореме Фалеса , следовательно, точки есть середины отрезков соответственно. Тогда (смотрите первый пункт этой статьи). Так мы получили формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов в пространстве
.
Эти формулы можно применять и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, а также если точки А и В лежат в одной из координатных плоскостей или в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.
Координаты середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов.
Формулы для нахождения координат середины отрезка легко получить, обратившись к алгебре векторов.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ , причем и .
По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство (точка С
является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , то есть, точка С
– середина диагонали параллелограмма). В статье координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты радиус-вектора точки равны координатам этой точки, следовательно,
. Тогда, выполнив соответствующие операции над векторами в координатах , имеем . Откуда можно сделать вывод, что точка С
имеет координаты
.
Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ
через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С
– середина отрезка АВ
и , то имеем .
Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.
Во многих задачах приходится использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Рассмотрим решения наиболее характерных примеров.
Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу.
Пример.
На плоскости заданы координаты двух точек . Найдите координаты середины отрезка АВ
.
Решение.
Пусть точка С
– середина отрезка АВ
. Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А
и В
:
Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты .
Отрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка.
Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.
Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.
Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1 , а на ось Х длина проекции равна x2-x1 . Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В данном случае |AB| является длиной отрезка.
Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5) . Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2 .
Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.
Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.
Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Рассчитаем длину отрезка А , для этого найдем квадратный корень:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1 , то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).
Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.
Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь н емного теории.
Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.
Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.
Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.
То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.
Длина отрезка на координатной плоскости
Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:
Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными
Х В – Х А и У В – У А
* * *
Середина отрезка. Её Координаты.
Формула для нахождения координат середины отрезка:
Уравнение прямой проходящей через две данные точки
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
где (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) координаты заданных точек.
Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:
y = kx + b , где k — это угловой коэффициент прямой
Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!
Что ещё можно добавить?
Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.
Рассмотрим задачи.
Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.
Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.
Ответ: 8
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.
Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.
Ответ: 6.
A (6;8) относительно оси Ox .
Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).
Ордината равна минус восьми.
Ответ: – 8
Найдите ординату точки, симметричной точке A (6;8) относительно начала координат.
Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).
Её ордината равна – 8.
Ответ: –8
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).
Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).
Вычисляем по формуле:
Получили (3;4). Абсцисса равна трём.
Ответ: 3
*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (–2;2).
Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).
Вычисляем по формуле:
Получили (2;5). Абсцисса равна двум.
Ответ: 2
*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.
Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).
Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:
в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,
*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:
Ответ:10
Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.
Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.
Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:
То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является
отношение прилежащего катета к гипотенузе
Необходимо найти гипотенузу ОА.
По теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6
Ответ: 0,6
Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.
Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ .
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс.
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.