Уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Различные виды уравнения плоскости

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Раздел 5. Аналитическая геометрия.

1. Различные уравнения плоскости в пространстве

2. Частные случаи общего уравнения плоскости

3. Взаимное расположение двух плоскостей

4. Расстояние от точки до плоскости

5. Различные уравнения прямой в пространстве

6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

8. Различные уравнения прямой линии на плоскости

9. Геометрическая задача линейного программирования

Различные уравнения плоскости в пространстве.

В предыдущих параграфах говорилось о том, что каждой точке пространства ставится в соответствие упорядоченный набор чисел – её координаты. Естественно предположить, что если точки, обнаруживая некоторую закономерность, «выстраиваются» в виде некоторой линии или поверхности, то и их координаты также будут демонстрировать эту закономерность, удовлетворяя, как правило, некоторому уравнению, которое и называется уравнением этой линии, или поверхности.

Рассмотрим сначала пространство R 3 – реальное трёхмерное пространство (в котором мы живём). Простейшей поверхностью в пространстве является плоскость. Плоскость может быть задана различными способами, этим способам соответствуют различные формы уравнений этой плоскости. В частности, плоскость вполне

Определена, если известна какая-нибудь

(она называется опорной ), и какой-нибудь

вектор, от которого требуется лишь одно

Рис.1 – он должен быть перпендикулярен

плоскости. Такой вектор называется вектором нормали и обычно обозначается (см. рис. 1).

Составить уравнение плоскости – значит охарактеризовать некоторым уравнением все точки плоскости. Для этого берём из этого бесчисленного множества точек любую (так сказать, представителя этого множества) и составляем для неё (т.е. для её координат) на основе замеченной закономерности уравнение. Поскольку точка была любой, то это уравнение будет справедливым и для всех точек плоскости.

Возьмём произвольную точку М (см. рис.1). Теперь образуем вектор . Ясно, что . Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов – их скалярное произведение равно нулю:

(1)

Уравнение (1) называют векторным уравнением плоскости. Это уравнение справедливо в любой системе координат.

Рассмотрим теперь уравнение (1) в декартовой системе координат. Пусть точка М 0 имеет координаты , координаты вектора принято обозначать: . Т.к. точка М – произвольная, её координаты: , следовательно, . Тогда формула (1) примет вид

его будем называть уравнением плоскости с опорной точкой и вектором нормали. Раскроем скобки в уравнении (2):

Обозначив, получим

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Отсюда видно, что всякое уравнение первой степени представляет собой плоскость.

Хорошо известно, что три точки однозначно определяют плоскость.

некоторую плоскость (т.е. не лежат

М 3 на одной прямой). Составим

уравнение этой плоскости

Рис. 2 (см. рис.2). Для этого возьмём

произвольную точку М, лежащую в плоскости и рассмотрим три вектора Поскольку М принадлежит плоскости, векторы эти компланарны, а условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

Уравнение (4) – ещё одно векторное уравнение плоскости, справедливое для любой системы координат. В декартовой системе координат пусть , ; тогда

И уравнение (4) выглядит следующим образом:

X – x 1 y – y 1 z – z 1

x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 = 0 (5)

x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1

Уравнение (5) называют уравнением плоскости, проходящей через три точки.

Пример 1 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1,2,-3) перпендикулярно вектору

Решение . Воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение плоскости

Заметим, что в уравнении могут отсутствовать некоторые переменные.

Пример 2 . Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору

Решение. Воспользуемся уравнением (2): Заметим, что в уравнении отсутствует свободный член (точнее, свободный член равен нулю).

Пример 3 . Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1,1,3), В(0,2,3), С(1,5,7).

Решение. Воспользуемся уравнением (5):

Вычислим определитель разложением по первой строке:

5.2. Частные случаи общего уравнения плоскости.

Возьмём общее уравнение плоскости и рассмотрим несколько его частных случаев.

1) D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

(6)

Ясно, что этому уравнению всегда удовлетворяет точка О(0,0,0) – начало координат. Итак, если в уравнении плоскости свободный член равен нулю, то плоскость проходит через начало координат.

2) С = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

(7)

Это означает, что вектор нормали имеет следующие координаты Нетрудно увидеть, что - вектор нормали перпендикулярен базисному вектору , т.е. оси oz, т.к. их скалярное произведение равно нулю: Теперь понятно,

что плоскость параллельна оси oz (рис.3).

Аналогично, если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ; если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ.

Итак, если в уравнении плоскости равен нулю коэффициент при некотором неизвестном, то плоскость параллельна одноименной оси координат.

3)Пусть равны нулю два параметра – свободный член и один коэффициент, например, С = = 0. Уравнение плоскости имеет вид

(8)

Из предыдущего ясно, что С =0 означает, что плоскость параллельна оси oz, а = 0 означает, что плоскость проходит через начало координат. Объединяя оба замечания, получаем, что плоскость проходит через ось oz.

Общий вывод: если в уравнении равны нулю свободный член и коэффициент при каком-нибудь неизвестном, то плоскость проходит через соответствующую ось координат.

4) Пусть равны нулю два коэффициента при неизвестных, например А = В =0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

. (9)

Учитываем предыдущие рассуждения: если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ; если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ, следовательно, если

А = В = 0, то плоскость параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. перпендикулярна оси

Z ОZ и отсекает на этой оси отрезок,

D/С равный – D/С (см. рис.4).

Отсюда следует:

х = 0 – уравнение координатной плоскости yoz,

у = 0 – уравнение координатной плоскости хоz,

z = 0 – уравнение координатной плоскости уоz.

5.3. Взаимное расположение двух плоскостей.

Взаимное расположение двух плоскостей определяется с помощью угла между ними (см. рис.5. Вообще говоря, можно увидеть два угла,

которые плоскости образуют

между собой – угол и

Дополнительный угол .

Один из них – острый, другой

Плоскостей оба угла совпадают).

Под углом между двумя плоскостями понимается всегда острый угол . Этот угол вычисляется с помощью угла между векторами нормалей (через скалярное произведение векторов нормалей):

(10)

На рис. 6 угол . Однако, в качестве вектора нормали к плоскости можно взять вектор . Тогда формула (10) даст косинус угла . Косинусы углов и будут отличаться лишь знаком. Поэтому, если мы хотим получить острый угол, то в формуле (10) скалярное произведение надо взять по абсолютной величине (по модулю):

(11)

Формулу (11) легко переписать в координатной форме. Пусть плоскости задаются уравнениями и . Таким образом, имеем два вектора нормалей: и По формуле (11) получим:

(12)

Теперь нетрудно получить два крайних случая: перпендикулярность и параллельность плоскостей. Если плоскости перпендикулярны, то

условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости параллельны, то векторы нормалей коллинеарны: , т.е. их координаты пропорциональны:

(14)

условие параллельности плоскостей.

Пример 4 . Даны три плоскости

Найти углы между этими плоскостями.

Решение . Имеем три вектора нормалей Нетрудно заметить, что , т.е. плоскости параллельны. Найдём угол между плоскостями

5.4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть требуется найти расстояние от

точки до плоскости.

Уравнение плоскости возьмём в виде

Уравнения с опорной точкой

И вектором нормали , т.е.

Как известно, расстояние равно длине перпендикуляра (рис. 5). Для наглядности начало вектора поместим в точку . Построим прямоугольник и увидим, что - проекции вектора на вектор нормали (см. рис. 5).

Вспоминаем определение скалярного произведения векторов:

(15)

Вновь замечаем, что на рис. 5 векторы образуют острый угол и потому является положительным числом. Если в качестве вектора нормали взять противоположный вектор (см. рис.5), то формула (15) даст отрицательное число, но расстояние есть число положительное, поэтому для расстояния d от точки до плоскости надо применять формулу

Распишем формулу (16) в координатной форме:

Скобку мы ранее обозначали буквой D. Поэтому получаем формулу

, - (17)

для нахождения расстояния от точки до плоскости заданной общим уравнением, надо в общее уравнение плоскости подставить координаты точки , поделить на длину вектора нормали и взять по модулю.

Пример 5 . Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение . Воспользуемся формулой (17):

5.5. Различные уравнения прямой в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно

Задать с помощью опорной точки , (т.е.

М точка лежит на прямой) и вектора , от

рис. 6 которого требуется одно – он должен

быть параллелен прямой. Такой вектор называется направляющим вектором прямой (см. рис. 6).

Для составления уравнения возьмём произвольную точку М, принадлежащую прямой, - получим вектор . Векторы и . – коллинеарны (параллельны), следовательно имеет место соотношение

где - некоторое число. Уравнение (18) называется векторным уравнением прямой. Оно будет справедливо в любом пространстве и не зависит от выбора системы координат.

Обозначим соответствующие координаты:

Тогда уравнение (18) имеет вид: или

Это обычно записывают в следующих формах:

(19)

Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве ( - параметр).

Если из этих уравнений исключить параметр , то получим:

(20)

это так называемые канонические уравнения прямой в пространстве. От канонических легко перейти к параметрическим уравнениям прямой – достаточно все уравнения (20) приравнять параметру .

Важный для практики случай, когда прямая задаётся двумя точками , легко сводится к формуле (20), - стоит лишь заметить, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор , а опорной точкой можно считать любую из них. Пусть тогда и опорной точкой возьмём , тогда из формулы (20) имеем:

(21)

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

5.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут

пересекаться, быть параллельными и

Скрещивающимися.

Пусть даны канонические уравнения двух прямых т.е. с опорными точками и направляющими векторами = .

Если т.е. , то прямые параллельны и даже могут совпадать. Подставим координаты опорной точки в уравнение прямой (или наоборот). Если точка лежит на прямой , то прямые совпадают, в противном случае – параллельны.

Пусть теперь т.е. векторы не параллельны (не коллинеарны). Тогда прямые могут пересекаться или скрещиваться. Как различить эти случаи? Делается это с помощью вектора (см. рис. 7). Ясно, что если прямые пересекаются, то векторы находятся в одной плоскости (точнее, они параллельны одной плоскости – компланарны). Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

(22)

Итак, если и выполняется (22), то прямые пересекаются; в случае не выполнения равенства (22) прямые скрещиваются.

Заметим, что во всех рассмотренных случаях взаимного расположения прямых можно вычислять угол между прямыми. Угол между прямыми определяется с помощью скалярного произведения их направляющих векторов:

(23)

Числитель взят по модулю для того, чтобы (как и для плоскостей) угол получался острым (в крайнем случае прямым).

Пример 6 . Выяснить взаимное расположение трёх прямых:

Решение . По данным уравнениям определяем опорные точки и направляющие векторы:

Легко заметить, что следовательно, прямые или параллельны или совпадают. Подставим координаты точки в уравнение - получили неверные равенства, следовательно, параллельны.

Возьмём и проверим условие (22):

, следовательно, скрещиваются.

Теперь проверим условие (22) для

следовательно, пересекаются.

5.7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться и тогда возникают вопросы нахождения угла между прямой и плоскостью и координатах точки их пересечения. Прямая и плоскость могут быть параллельными, в частном случае, прямая лежит в плоскости. Рассмотрим все эти случаи.

Угол между прямой и плоскостью (см. рис. 8) определяется с

Помощью вектора нормали

Плоскости и направляющего вектора

Прямой: и направляющего вектора прямой что на плоскости (в двумерном направляющий вектор прямой, М (х, у) – произвольная точка прямой.Если в уравнении (32) раскрыть скобки и обозначить

уравнение прямой с опорной точкой и вектором нормали.

(36)

где общее уравнение прямой на плоскости.

Угол между двумя прямыми можно вычислять привычным для нас способом – с помощью скалярного произведения направляющих векторов прямых или их векторов нормали. Если две прямые заданы каноническими уравнениями

И т.е. направляющие векторы прямых, то (см. рис.10)

(37)

Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.

В разделе плоскость в пространстве мы рассмотрели плоскость с позиций геометрии. В этой статье мы взглянем на плоскость с позиций алгебры, то есть, перейдем к описанию плоскости с помощью уравнения плоскости.

Сначала разберемся с вопросом: «Что такое уравнение плоскости»? После этого рассмотрим основные виды уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного плостранства.

Навигация по странице.

• Уравнение плоскости – определение.
• Общее уравнение плоскости.
• Уравнение плоскости в отрезках.
• Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение плоскости – определение.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.

Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x , y и z , которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Осталось выяснить, какой вид имеет уравнение плоскости. Ответ на этот вопрос содержится в следующем пункте этой статьи. Забегая вперед, отметим, что уравнение плоскости может быть записано по-разному. Существование различных видов уравнения плоскости обусловлено спецификой решаемых задач.

К началу страницы

Общее уравнение плоскости.

Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде .

Следует заметить, что уравнение вида , где - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства и эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнению соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.

Если все коэффициенты А , В , С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называется полным . В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным .

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz , уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy , а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A , B и C в общем уравнении плоскости представляют собойкоординаты нормального вектора плоскости.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

К началу страницы