VIVOS VOCO: Давид Гильберт, "Математические проблемы". Математические проблемы Гильберта и их статус. Полный список

Алгебраическую геометрию, вещественный и комплексный анализ, математическую физику и , а также ) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем три не решены, а две решены только для некоторых случаев.

Список проблем

Сноски

1. Результат Коэна (Cohen) показывает, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
2. Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
3. Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
4. Проблема № 8 содержит две известные проблемы, обе из которых остаются нерешёнными. Первая из них, является одной из семи Millennium Prize Problems, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
5. Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
6. Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для редуктивных групп. Нагата в 1958 году построил контрпример для общего случая. Доказано также, что если алгебра инвариантов любого (конечномерного) представления алгебраической группы конечно порождена, то группа редуктивна.
7. Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют - их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены - см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей - неизвестно даже, сколько даже их может быть, и даже что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля предельных циклов конечное число) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем - для чего каждому из них пришлось написать по книге.

(стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

8 августа 1900 года в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков Д. Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы».

Доклад был необычен. Он не включал в себя новых теорем, не предлагал решений никаких проблем. Напротив, он содержал формулировки двадцати трех проблем, решение которых, по замыслу докладчика, должно было стать главным стимулом развития математики в 20 столетии.

«Кто из нас не хотел бы приот­крыть завесу, за которой скрыто на­ше будущее, чтобы хоть одним взгля­дом проникнуть в предстоящие успе­хи нашего знания и тайны его раз­вития в ближайшие столетия? Ка­ковы будут те особенные цели, ко­торые поставят себе ведущие мате­матические умы ближайшего поколе­ния? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столе­тии на широком и богатом поле ма­тематической мысли? - такими сло­вами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. - История учит, что развитие науки протекает непре­рывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые после­дующая эпоха или решает, или отод­вигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный харак­тер развития математики в ближай­шем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, кото­рые еще остаются открытыми, обоз­реть проблемы, которые ставит сов­ременная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт пред­лагает вниманию слушателей двад­цать три проблемы из различ­ных областей математики, «исследо­вание которых может значительно стимулировать дальнейшее разви­тие науки».

Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта, даже каждый частичный успех в их решении при­нимаются всем математическим миром как крупное математическое достиже­ние. В чем секрет такой популярности гильбертовских проблем, той значимости, которое придается их решению? Ведь число нерешенных задач, поставленных в математической литературе, огромно, и лишь некоторые из них (как, например, проблема Ферма) приобретают ши­рокую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи, неко­торые из которых - не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических на­правлений!

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисцип­лин, следующие девять - к более специальным вопросам алгебры, ал­гебраической геометрии и теории чи­сел, остальные восемь - к теории функций, дифференциальным урав­нениям и вариационному исчислению. Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке - проблема континуума - была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К.Гаус­сом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих со­держание восьмой проблемы, то один из них - гипотеза о нулях дзета-функции - был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, - еще в 1742 го­ду в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема - задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором кото­рых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер вы­бора проблем, содержащихся в док­ладе,- здесь лишь те наиболее важ­ные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед матема­тикой, размышления над которыми могли помочь «представить себе воз­можный характер развития математи­ческого знания в ближайшем буду­щем».

Дальнейший ход событий показал, что выбор проблем, сделанный Гиль­бертом, был в основном правильным: разработка идей, связанных с их содержанием, составила значитель­ную часть математики XX века. В ре­шении этих проблем принимали уча­стие очень многие талантливые мате­матики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его много­численные ученики. Замечательное место среди них принадлежит оте­чественным математикам. В то время Россия не была еще мощной мате­матической державой, подобной Гер­мании или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и дала миру ряд выдаю­щихся математиков, среди них - ве­личайших математических гениев - Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отечественной математики был еще впереди. На конгрессе в Париже русская делега­ция была сравнительно небольшой- 9 человек (сравните: Франция - 90, Германия - 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали - о нулях - С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профес­сор М. А. Тихомандрицкий.

А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с такими простыми и естественными вопросами, как "Сколько?", "Больше или меньше?", и практически любой старшеклассник может понять, в чем состоит эта проблема. Тем не менее, нам потребуются некоторые дополнительные сведения, чтобы ее сформулировать.

Эквивалентность множеств

Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?

Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот.

Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный пересчет, называется принципом разбиения на пары , или принципом взаимно однозначного соответствия .

Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы --- множество . Объекты, входящие в множество, называются его элементами . Если элемент x входит в множество X , это обозначают так: x X . Если множество X 1 содержится в множестве X 2 , т. е. все элементы множества X 1 являются также элементами X 2 , то говорят, что X 1 --- подмножество X 2 , и кратко записывают так: X 1 X 2 .

Множество конечно , если в нем конечное число элементов. Множества могут быть как конечными (например, множество учеников в классе), так и бесконечными (например, --- множество всех натуральных чисел 1,2,3,... ). Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми .

Пусть X и Y --- два множества. Говорят, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие , если все элементы этих двух множеств разбиты на пары вида (x,y) , где x X , y Y , причем каждый элемент из X и каждый элемент из Y участвует ровно в одной паре.

Пример, когда все девочки и мальчики на танцевальном вечере разбиваются на пары, и есть пример взаимно однозначного соответствия между множеством девочек и множеством мальчиков.

Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными . Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому естественно считать, что если одно бесконечное множество эквивалентно другому, то в нем "столько же" элементов. Однако, опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма неожиданные свойства бесконечных множеств.

Бесконечные множества

Рассмотрим любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество. Тогда элементов в подмножестве меньше , чем в сам множестве, т. е. часть меньше целого .

Обладают ли бесконечные множества таким свойством? И может ли иметь смысл утверждение, что в одном бесконечном множестве "меньше" элементов, чем в другом, тоже бесконечном? Ведь про два бесконечных множества мы можем пока только сказать, эквивалентны они или нет. А существуют ли вообще неэквивалентные бесконечные множества?

Далее мы последовательно ответим на все эти вопросы. А для начала приведем забавную фантастическую историю из книги Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах". Действие происходит в далеком будущем, когда жители разных галактик могут встречаться друг с другом. Поэтому для всех путешествующих по космосу построена огромная гостиница, протянувшаяся через несколько галактик.

В этой гостинице бесконечно много номеров (комнат), но, как и положено, все комнаты пронумерованы, и для любого натурального числа n есть комната с этим номером.

Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил поселить его в эту гостиницу.

"После некоторых размышлений директор обратился к администратору и сказал:

Поселите его в # 1.

Куда же я дену жильца этого номера? --- удивленно спросил администратор.

А его переселите в # 2. Жильца же из # 2 отправьте в # 3, из # 3 --- в # 4 и т. д."

Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k , переедет в номер k+1 , как это показано на следующем рисунке:

Тогда у каждого снова будет свой номер, а # 1 освободится.

Таким образом, нового гостя удалось поселить --- именно потому, что номеров в гостинице бесконечно много.

Первоначально участники съезда занимали все номера гостиницы, следовательно, между множеством космозоологов и множеством было установлено взаимно однозначное соответствие: каждому космозоологу дали по номеру, на двери которого написано соответствующее ему натуральное число. Естественно считать, что делегатов было "столько же", сколько имеется натуральных чисел. Но приехал еще один человек, его тоже поселили, и количество проживающих увеличилось на 1. Но их снова осталось "столько же", сколько и натуральных чисел: ведь все поместились в гостиницу! И если обозначить количество космозоологов через 0 , то мы получим "тождество" 0 = 0 +1 . Ни для какого конечного 0 оно, разумеется, не выполнено.

Мы пришли к удивительному выводу: если к множеству, которое эквивалентно , добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно . Но ведь совершенно ясно, что делегаты-космозоологи представляют собой часть того множества людей, которые разместились в гостинице после приезда нового гостя. Значит, в этом случае часть не "меньше" целого, а "равна" целому!

Итак, из определения эквивалентности (которое не приводит ни к каким "странностям" в случае конечных множеств) следует, что часть бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству.

Возможно, что известный математик Больцано , который пытался в своих рассуждениях применять принцип взаимно однозначного соответствия, испугался таких непривычных эффектов и поэтому не стал дальше развивать эту теорию. Она показалась ему совершенно абсурдной. Но Георг Кантор во второй половине XIX века вновь заинтересовался этим вопросом, стал исследовать его и создал теорию множеств , важный раздел оснований математики.

Продолжим наш рассказ про бесконечную гостиницу.

Новый постоялец "не удивился, когда на другое утро ему предложили переселиться в #1,000,000 . Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космозоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999,999 жильцов".

Но потом произошла какая-то накладка, и в эту же самую гостиницу приехали на съезд филателисты . Их тоже было бесконечное множество --- по одному представителю от каждой галактики. Как же их всех разместить?

Эта задача оказалась весьма сложной. Но и в этом случае нашелся выход.

"В первую очередь администратор приказал переселить жильца из # 1 в # 2.

А жильца из # 2 переселите в # 4, из # 3 --- в # 6, вообще, из номера n --- в номер 2n .

Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бесконечное множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а нечетные --- филателистами... Филателист, стоявший в очереди n -м, занимал номер 2n-1 ". И снова всех удалось разместить в гостинице. Итак, еще более удивительный эффект: при объединении двух множеств, каждое из которых эквивалентно , вновь получается множество, эквивалентное . Т. e. даже при "удвоении" множества мы получаем множество, эквивалентное исходному!

Счетные и несчетные множества

Рассмотрим следующую цепочку: . ( --- это множество целых чисел, а --- множество рациональных чисел, т. е. множество чисел вида p/q , где p и q --- целые, q0 .) Все эти множества бесконечны. Рассмотрим вопрос об их эквивалентности.

Установим взаимно однозначное соответствие между и : образуем пары вида (n,2n) и (-n,2n+1) , n , а также пару (0,1) (на первое место в каждой паре ставится число из , а на второе --- из ).

Есть и другой способ установить это соответствие, например, выписать все целые числа в таблицу, как показано на рисунке, и, обходя ее по стрелочкам, присваивать каждому целому числу некоторый номер. Таким образом, мы " пересчитаем " все целые числа: каждому z сопоставляется некоторое натуральное число (номер) и для каждого номера есть такое целое число, которому этот номер приписывается. При этом явную формулу выписывать не обязательно.

Таким образом, эквивалентно .

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным . Такое множество можно "пересчитать": пронумеровать все его элементы натуральными числами.

На первый взгляд, рациональных чисел на прямой "намного больше" чем целых. Они расположены всюду плотно : в любом сколь угодно малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что множество также счетно. Докажем сначала счетность + (множества всех положительных рациональных чисел).

Выпишем все элементы + в такую таблицу: в первой строке --- все числа со знаменателем 1 (т. е. целые), во второй --- со знаменателем 2 и т. д. (см. рисунок). Каждое положительное рациональное число обязательно встретится в этой таблице, и не однажды (например, число 1====... встречается в каждой строке этой таблицы) .

А теперь мы пересчитаем эти числа: идя по стрелочкам, присваиваем каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже встречалось нам раньше в другой записи). Поскольку мы двигаемся по диагоналям, то мы обойдем всю таблицу (т. е. рано или поздно доберемся до любого из чисел).

Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из + , т. е. доказали, что + счетно.

Заметим, что этот способ нумерации не сохраняет порядка: из двух рациональных чисел большее может встретиться раньше, а может --- и позже.

Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулем? Так же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице. Пронумеруем + не всеми натуральными числами, а только четными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим (по такой же схеме, что и положительным) нечетные номера, начиная с 3.

Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными, следовательно, счетно.

Возникает естественный вопрос: Может быть, все бесконечные множества счетны?

Оказалось, что --- множество всех точек на числовой прямой --- несчетно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке, произвел очень сильное впечатление на математиков.

Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с помощью диагонального процесса .

Как мы знаем, каждое действительное число x можно записать в виде десятичной дроби:
x=A, 1 2 ... n ...,
где A --- целое число, не обязательно положительное, а 1 , 2 , ..., n , ... --- цифры (от 0 до 9). Это представление неоднозначно: например,
½=0,50000...=0,49999...
(в одном варианте записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в другом --- одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу соответствует ровно одна его десятичная запись.

Предположим теперь, что нам удалось пересчитать все действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...

Чтобы прийти к противоречию, построим такое число y , которое не сосчитано , т. е. не содержится в этой таблице.

Для любой цифры a определим цифру следующим образом:
=
Положим (у этого числа k -я цифра после запятой равна 1 или 2, в зависимости от того, какая цифра стоит на k -м месте после запятой в десятичной записи числа x k ).

Например, если
x 1 = 2,1345...
x 2 = -3,4215...
x 3 = 10,5146...
x 4 = -13,6781...
.....................
то =0,2112...

Итак, с помощью диагонального процесса мы получили действительное число y , которое не совпадает ни с одним из чисел таблицы, ведь y отличается от каждого x k по крайней мере k -й цифрой десятичного разложения, а разным записям, как мы знаем, соответствуют различные числа.

Доказать континуум-гипотезу --- значит, вывести ее из этих аксиом. Опровергнуть ее --- значит, показать, что если ее добавить к этой системе аксиом, то получится противоречивый набор утверждений.

Решение проблемы

Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.

В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть .

Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело---Френкеля (ZF ) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.

Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом.

Этот вывод произвел очень сильный эффект и даже отразился в литературе (см. эпиграф).

Как же поступать с этой гипотезой? Обычно ее просто присоединяют к системе аксиом Цермело---Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо доказывают, опираясь на континуум-гипотезу, обязательно указывают, что она была использована при доказательстве.