Выражения с дробями. Сложение и вычитание дробей

Практически каждый пятиклассник после первого знакомства с обыкновенными дробями находится в небольшом шоке. Мало того, что нужно еще понять суть дроби, так с ними еще придется выполнять арифметические действия. После этого маленькие ученики будут систематически допрашивать своего учителя, разузнавать когда же эти дроби кончатся.

Чтобы избежать подобных ситуаций, достаточно всего лишь как можно проще объяснить детям эту нелегкую тему, а лучше в игровой форме.

Суть дроби

Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля . Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь . Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

Основные доли и их запись в дробях:

Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

Действия с дробями 5 класс

В пятом классе учатся выполнять все арифметические действия с дробями.

Все действия с дробями выполняются по правилам, и надеяться на то, что не выучив правило все получится само сабой не стоит. Поэтому не стоит пренебрегать устной частью домашнего задания по математике.

Мы уже поняли, что запись десятичной и обыкновенной дроби различны, следовательно и арифметические действия будут выполняться по-разному. Действия с обыкновенными дробями зависят от тех чисел, которые стоят в знаменателе, а в десятичной-после запятой справа.

Для дробей, у которых знаменатели одинаковые, алгоритм сложения и вычитания очень прост. Действия выполняем только с числителями.

Для дробей с разными знаменателями нужно найти Наименьший Общий Знаменатель (НОЗ). Это то число, которое будет делиться без остатка на все знаменатели, и будет наименьшим из таких чисел, если их несколько.

Для сложения либо вычитания десятичных дробей, нужно записать их в столбик, запятая под запятой, и уравнить количество десятичных знаков если это требуется.

Чтобы перемножить обыкновенные дроби просто найди произведение числителей и знаменателей. Очень простое правило.

Деление выполняется по следующему алгоритму:

Делимое записать без изменения
Деление превратить в умножение
Делитель перевернуть (записать обратную дробь делителю)
Выполнить умножение

Сложение дробей, объяснение

Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

Вычитание дробей, объяснение

Чтобы найти разность дробей две третьих и одна третья, нужно вычислить разность числителей 2-1 = 1, а знаменатель оставить без изменения. В ответе получаем разность одну третью.

Найдем разность дробей пять шестых и семь десятых. Находим общий знаменатель. Используем способ подбора, из 6 и 10 наибольший 10. Проверяем: 10: 6 без остатка не делится. Добавляем еще 10, получается 20:6, тоже без остатка не делится. Снова увеличиваем на 10, получили 30:6 = 5. Общий знаменатель 30. Так же НОЗ можно найти по таблице умножения.

Находим дополнительные множители. 30:6 = 5 — для первой дроби. 30:10 = 3 — для второй. Перемножаем числители и их доп.множ. Получаем уменьшаемое 25/30 и вычитаемое 21/30. Далее выполняем вычитание числителей, а знаменатель оставляем без изменения.

В результате получилась разность 4/30. Дробь сократимая. Разделим ее на 2. В ответе 2/15.

Деление десятичных дробей 5 класс

В этой теме рассматривается два варианта действий:

Умножение десятичных дробей 5 класс

Вспомните, как вы умножаете натуральные числа, точно таким же способом и находят произведение десятичных дробей. Сначала разберемся, как умножить десятичную дробь на натуральное число. Для этого:

При умножении десятичной дроби на десятичную, действуем точно также.

Смешанные дроби 5 класс

Пятиклашки любят называть такие дроби не смешанные, а <<смешные>>, наверное так легче запомнить. Смешанные дроби называются так от того, что они получились путем соединения целого натурального числа и обыкновенной дроби.

Смешанная дробь состоит из целой и дробной части.

При чтении таких дробей сначала называют целую часть, затем дробную: одна целая две третьих, две целых одна пятая, три целых две пятых, четыре целых три четвертых.

Как же они получаются, эти смешанные дроби? Все довольно просто. Когда мы получаем в ответе неправильную дробь (дробь у которой числитель больше знаменателя), мы ее должны всегда переводить в смешанную. Достаточно разделить числитель на знаменатель. Это действие называется выделением целой части:

Перевести смешанную дробь обратно в неправильную тоже несложно:

Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением

Много вопросов у детей вызывают примеры на несколько действий. Разберем пару таких примеров.

(0,4 · 8,25 — 2,025) : 0,5 =

Первым действием находим произведение чисел 8,25 и 0,4. Выполняем умножение по правилу. В ответе отсчитываем справа налево три знака и ставим запятую.

Второе действие находится там же в скобках, это разность. От 3,300 вычитаем 2,025. Записываем действие в столбик, запятая под запятой.

Третье действие-деление. Полученную разность во втором действии делим на 0,5. Запятая переносится на один знак. Результат 2,55.

Ответ: 2,55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

Первое действие сумма в скобках.Складываем в столбик, помним, что запятая под запятой. Получаем ответ 1,00.

Второе действие разность из второй скобки. Так как у уменьшаемого меньше знаков после запятой, чем у вычитаемого, добавляем недостающий. Результат вычитания 0 ,125.

Третьим действие делим сумму на разность. Запятая переносится на три знака. Получилось деление 1000 на 125.

Ответ: 8 .

Примеры с обыкновенными дробями с разными знаменателями 5 класс с объяснением

В первом примере находим сумму дробей 5/8 и 3/7. Общим знаменателем будет число 56. Находим дополнительные множ., разделим 56:8 = 7 и 56:7 = 8. Дописываем их к первой и второй дроби соответственно. Перемножаем числители и их множители, получаем сумму дробей 35/56 и 24/56. Получили сумму 59/56. Дробь неправильная, переводим ее в смешанное число.Остальные примеры решаются аналогично.

Примеры с дробями 5 класс для тренировки

Для удобства переведите смешанные дроби в неправильные и выполняйте действия.

Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

Чтобы получать пятерки по математике не забывайте учить правила и отрабатывать их на практике.

В 5 классе средней школы вводится представление дроби. Дробь – это число, состоящее из целого числа долей единиц. Обычные дроби записываются в виде ±m/n, число m называют числителем дроби, число n – его знаменателем. Если модуль знаменателя огромнее модуля числителя, скажем 3/4, то дробь именуется верной, в отвратном случае – неправильной. Дробь может содержать целую часть, скажем 5 * (2/3).К дробям дозволено использовать разные арифметические операции.

Инструкция

1. Приведение к всеобщему знаменателю.Пускай даны дроби a/b и c/d.- В первую очередь находится число НОК(наименьшее всеобщее кратное) для знаменателей дробей.- Числитель и знаменатель первой дроби умножается на НОК/b- Числитель и знаменатель 2-й дроби умножается на НОК/dПример приведён на рисунке.Для сопоставления дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, после этого сравнить числители. Скажем, 3/4 < 4/5, см. рисунок.

2. Сложение и вычитание дробей.Для нахождения суммы 2-х обычных дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, позже чего сложить числители, оставив знаменатель без изменений. Пример сложения дробей 1/2 и 1/3 приведён на рисунке.Разность дробей находится аналогичным образом, позже нахождения всеобщего знаменателя, числители дробей вычитаются, см. пример на рисунке.

3. Умножение и деление дробей.При умножении обычных дробей, числители и знаменатели перемножаются между собой.Для того, дабы поделить две дроби, нужно получить дробь обратную 2-й дроби, т.е. поменять его числитель и знаменатель местами, позже чего произвести умножение полученных дробей.

Модуль представляет собой безусловную величину выражения. Для обозначения модуля используют прямые скобки. Арестанты в них значения считаются взятыми по модулю. Решение модуля состоит в раскрытии модульных скобок по определенным правилам и нахождении множества значений выражения. В большинстве случаев модуль раскрывается таким образом, что подмодульное выражение получает ряд позитивных и негативных значений с том числе и нулевое значение. Исходя из данных свойств модуля, составляются и решаются дальше уравнения и неравенства начального выражения.

Инструкция

1. Запишите начальное уравнение с модулем. Для его решения раскройте модуль. Разглядите всякое подмодульное выражение. Определите, при каком значении входящих в него незнакомых величин выражение в модульных скобках обращается в нуль.

2. Для этого приравняйте подмодульное выражение к нулю и обнаружьте решение получившегося уравнения. Запишите обнаруженные значения. Таким же образом определите значения незнакомой переменной для всего модуля в заданном уравнении.

3. Разглядите случаи существования переменных, когда они хороши от нуля. Для этого запишите систему неравенств для всех модулей начального уравнения. Неравенства обязаны охватывать все допустимые значения переменной на числовой прямой.

4. Нарисуйте числовую прямую и отложите на ней полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.

5. В начальном уравнении надобно раскрыть модульные скобки, меняя знак выражения так, дабы значения переменной соответствовали отображенным на числовой прямой. Решите полученное уравнение. Обнаруженное значение переменной проверьте на лимитация, заданное модулем. Если решение удовлетворяет условию, значит оно правдиво. Не удовлетворяющие ограничениям корни обязаны отбрасываться.

6. Аналогичным образом раскрывайте модули начального выражения с учетом знака и высчитывайте корни получаемого уравнения. Запишите все полученные корни, удовлетворяющие неравенствам ограничения.

Дробные числа разрешают выражать в различном виде точное значение величины. С дробями дозволено исполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Дабы обучиться решать дроби , нужно помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, всеобщего знаменателя. Некоторые арифметические действия позже выполнения требуют сокращения дробной части итога.

Вам понадобится

– калькулятор

Инструкция

1. Наблюдательно посмотрите на данные числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, изредка комфортнее сначала исполнить действия с десятичными, а после этого перевести их в неверный вид. Можете перевести дроби в такой вид первоначально, записав значение позже запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, поделив числа выше и ниже черты на один делитель. Дроби, в которых выдается целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к итогу числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Дабы выделить целую часть из изначально неправильной дроби , нужно поделить числитель на знаменатель. Целый итог записать слева от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью допустимо выполнение действий отдельно вначале для целой, а после этого для дробной частей. Скажем, сумма 1 2/3 и 2 ? может быть вычислена двумя методами:- Переведение дробей в неверный вид:- 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:- 1 2/3 + 2 ? = (1+2) + (2/3 + ?) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

2. Для неправильных дробей с различными значениями под чертой обнаружьте всеобщий знаменатель. Скажем, для 5/9 и 7/12 всеобщим знаменателем будет 36. Для этого числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4 (получится 28/36), а 2-й – на 3 (получится 15/36). Сейчас можете исполнить нужные расчёты.

3. Если вы собираетесь вычислять сумму либо разность дробей, для начала запишите обнаруженный всеобщий знаменатель под черту. Исполните нужные действия между числителями, а итог запишите над чертой новой дроби . Таким образом, новым числителем станет разность либо сумма числителей изначальных дробей.

4. Для расчёта произведения дробей перемножьте числители дробей и запишите итог на место числителя итоговой дроби . То же самое проделайте для знаменателей. При делении одной дроби на иную запишите одну дробь, а после этого умножьте её числитель на знаменатель 2-й. При этом знаменатель первой дроби умножается соответственно на числитель 2-й. При этом происходит оригинальный переворот 2-й дроби (делителя). Итоговая дробь будет состоять из итогов умножения числителей и знаменателей обеих дробей. Нетрудно обучиться решать дроби , записанные в условии в виде «четырёхэтажной» дроби . Если черта разделяет две дроби , перепишите их через разграничитель «:» и продолжите обыкновенное деление.

5. Для приобретения финального итога полученную дробь сократите, поделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее допустимое в данном случае. При этом выше и ниже черты обязаны быть целые числа.

Обратите внимание!
Не исполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, дабы при умножении на него числителя и знаменателя всякой дроби в итоге знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, либо знаменатель, дроби. Скажем, полтора килограмма риса в виде дроби запишется дальнейшим образом: 1 ? кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для комфорта вычислений такую дробь неизменно дозволено записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для облегчения дозволено сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере допустимо деление на 2. В итоге получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь исполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Если вы пишете курсовую работу либо составляете какой-нибудь иной документ, содержащий расчетную часть, то вам никуда не деться от дробных выражений, которые также надобно напечатать. Как это сделать, разглядим дальше.

Инструкция

1. Кликните один раз по пункту меню «Вставка», после этого выберите пункт «Символ». Это один из самых примитивных методов вставки дроби в текст. Заключается он в дальнейшем. В комплекте готовых символов есть дроби . Их число, как водится, невелико, но если вам в тексте необходимо написать?, а не 1/2, то для вас сходственный вариант будетсамым оптимальным. Помимо того, число символов дробей может зависеть и от шрифта. Скажем, для шрифта Times New Roman дробей немножко поменьше, чем для того же Arial. Варьируйте шрифтами, дабы обнаружить самый наилучший вариант, если дело касается примитивных выражений.

2. Кликните по пункту меню «Вставка» и выберите подпункт «Объект». Перед вами появится окно с перечнем допустимых объектов для вставки. Выберите среди них Microsoft Equation 3.0. Это приложение поможет вам печатать дроби . Причем не только дроби , но и трудные математические выражения, содержащие разные тригонометрические функции и прочие элементы. Двукратно кликните по этому объекту левой кнопкой мышки. Перед вами появится окно, содержащее много символов.

3. Дабы напечатать дробь, выберите символ изображающий дробь с пустым числителем и знаменателем. Кликните по нему один раз левой кнопкой мыши. Появится дополнительное меню, уточняющее схему самой дроби . Может быть несколько ее вариантов. Выберите особенно для вас подходящий и кликните по нему один раз левой кнопкой мыши.

4. Введите в числителе и знаменателе дроби все необходимые данные. Это будет протекать теснее непринужденно на листе документа. Дробь будет вставлена отдельным объектом, тот, что в случае необходимости дозволено переместить в всякое место документа. Вы можете напечатать многоэтажные дроби . Для этого разместите в числитель либо знаменатель (как вам надобно) еще одну дробь, которую дозволено предпочесть в окне того же приложения.

Видео по теме

Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают всякие числовые либо буквенные выражения. Нередко числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют массивный вид, но действия с такими дробями следует делать по тем же правилам, что и действия с обычными, где числитель и знаменатель - целые правильные числа.

Инструкция

1. Если даны смешанные дроби , переведите их в неправильные (дробь, в которой числитель огромнее знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

2. Если нужно перевести десятичную дробь в неправильную, то представьте ее как деление числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит позже запятой. Скажем, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 – как 361/100. Оперировать с неправильными дробями нередко легче, чем со смешанными либо десятичными.

3. Если дроби имеют идентичные знаменатели, а вам нужно их сложить, то примитивно сложите числители; знаменатели остаются без изменений.

4. При необходимости произвести вычитание дробей с идентичными знаменателями из числителя первой дроби вычтите числитель 2-й дроби. Знаменатели при этом также не меняются.

5. Если нужно сложить дроби либо вычесть одну дробь из иной, а они имеют различные знаменатели, приведите дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте число, которое будет наименьшим всеобщим кратным (НОК) обоим знаменателям либо нескольким, если дробей огромнее 2-х. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

6. Позже знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к всякому слагаемому добавочные множители - то число, на которое нужно домножить и числитель, и знаменатель, дабы получить НОК. Ступенчато умножайте числители на добавочные множители, сберегая знак сложения либо вычитания.

7. Посчитайте итог, сократите его при необходимости либо выделите целую часть. Для примера – нужно сложить? и?. НОК для обеих дробей - 12. Тогда добавочный множитель к первой дроби - 4, ко 2-й - 3. Итого: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Если дан пример на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель итога) и знаменатели (получится знаменатель итога). В этом случае к всеобщему знаменателю их приводить не нужно.

9. Дабы поделить дробь на дробь, нужно опрокинуть вторую дробь «вверх ногами» и перемножить дроби. То есть а/b: с/d = a/b · d/c.

10. Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Скажем, переносите всеобщий множитель за скобку либо раскладывайте по формулам сокращённого умножения, дабы после этого дозволено было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД – минимальный всеобщий делитель.

Обратите внимание!
Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Скажем, невозможно сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма либо разность - 3a±4b.

Видео по теме

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия - в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

Сначала выполняется возведение в степень - избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
Затем - деление и умножение;
Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется - все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем - деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень - их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе - дробь 12/5;
В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе - отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно - в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок - пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем - частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.
Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

Примеры (1):

Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):

Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:

Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:

В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:

*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!
— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.
— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).
— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).
— если необходимо, то результат сокращаем.
— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.